На отрезке, найдите минимальное значение функции y=x^2 +25/x

Хорошо, давайте решим данную задачу пошагово.

1. Для начала, заметим, что функция дана в виде \(y = x^2 + \frac{25}{x}\). Нам нужно найти минимальное значение этой функции на заданном отрезке.

2. Чтобы найти минимальное значение функции, мы должны найти точку, где производная функции равна нулю или не существует. Если производная равна нулю или не существует, это может указывать на экстремумы функции, и в данном случае, на минимальное значение.

3. Для того чтобы найти производную функции, возьмём её по правилу дифференцирования степенной функции и применим правило дифференцирования для суммы:

\[
\frac{{dy}}{{dx}} = 2x - \frac{{25}}{{x^2}}
\]

4. Решим уравнение \(2x - \frac{{25}}{{x^2}} = 0\) для нахождения точки, где производная равна нулю:

\[
2x - \frac{{25}}{{x^2}} = 0
\]

Умножим оба члена уравнения на \(x^2\) для упрощения:

\[
2x^3 - 25 = 0
\]

5. Решим это уравнение относительно \(x\) для нахождения точки:

\[
2x^3 = 25
\]

\[
x^3 = \frac{{25}}{{2}}
\]

\[
x = \sqrt[3]{\frac{{25}}{{2}}}
\]

Вычисляя значение корня, мы получаем значение \(x \approx 2.924\).

6. Теперь, чтобы убедиться, что это точка минимума, проверим, что производная меняет знак с отрицательного на положительный при движении отлево от этой точки к точке и вновь меняет знак с положительного на отрицательный при движении вправо от этой точки.

7. Для \(x < 2.924\), \(\frac{{dy}}{{dx}}\) будет отрицательной, так как \(2x - \frac{{25}}{{x^2}}\) будет отрицательным при значениях \(x < 2.924\).

8. Для \(x > 2.924\), \(\frac{{dy}}{{dx}}\) будет положительной, так как \(2x - \frac{{25}}{{x^2}}\) будет положительным при значениях \(x > 2.924\).

9. Следовательно, мы видим, что при \(x = 2.924\), функция имеет локальный минимум.

10. Теперь, чтобы найти соответствующее значение \(y\), подставим \(x = 2.924\) в исходную функцию:

\[
y = (2.924)^2 + \frac{{25}}{{2.924}}
\]

Вычисляя эту формулу, получаем \(y \approx 22.096\).

Таким образом, минимальное значение функции \(y = x^2 + \frac{{25}}{{x}}\) на данном отрезке равно приблизительно \(22.096\) при \(x \approx 2.924\).