На кубе abcda1b1c1d1 даны точки n и m на ребрах b1a1 и a1d1 соответственно. Отношения b1n: na1 и a1m: md1 равны

Для решения данной задачи мы воспользуемся теоремой косинусов, которая позволяет нам найти косинус угла в треугольнике по длинам его сторон.

Для начала, давайте определим длину ребра куба. У нас нет конкретных данных о его длине в условии задачи, поэтому для удобства обозначим длину ребра как \(x\).

Исходя из отношений, данной в условии задачи, длины отрезков \(b1n\) и \(na1\) будут составлять соответственно \(\frac{1}{5}x\) и \(\frac{4}{5}x\), а длины отрезков \(a1m\) и \(md1\) составляют \(\frac{3}{7}x\) и \(\frac{4}{7}x\).

Теперь рассмотрим треугольник \(b1na1\) и применим теорему косинусов для нахождения косинуса угла \(\alpha\).

Теорема косинусов утверждает, что для любого треугольника со сторонами \(a\), \(b\) и \(c\) и углом \(\alpha\) между сторонами \(a\) и \(b\) справедлива формула:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)\]

Применим эту формулу к треугольнику \(b1na1\), где \(a = \frac{1}{5}x\), \(b = \frac{4}{5}x\) и \(c = x\).

\[x^2 = \left(\frac{1}{5}x\right)^2 + \left(\frac{4}{5}x\right)^2 - 2\left(\frac{1}{5}x\right)\left(\frac{4}{5}x\right)\cos(\alpha)\]

Упростим это уравнение, чтобы найти косинус угла \(\alpha\):

\[x^2 = \frac{1}{25}x^2 + \frac{16}{25}x^2 - \frac{8}{25}x^2\cos(\alpha)\]

\[x^2 = \frac{25}{25}x^2 - \frac{8}{25}x^2\cos(\alpha)\]

\[x^2 = \frac{17}{25}x^2 - \frac{8}{25}x^2\cos(\alpha)\]

\[x^2\cos(\alpha) = \frac{17}{25}x^2 - x^2\]

\[x^2\cos(\alpha) = x^2\left(\frac{17}{25} - 1\right)\]

\[x^2\cos(\alpha) = \frac{17}{25}x^2 - \frac{25}{25}x^2\]

\[x^2\cos(\alpha) = \frac{17}{25}x^2 - x^2\]

\[x^2\cos(\alpha) = \frac{16}{25}x^2\]

\[\cos(\alpha) = \frac{16}{25}\]

Таким образом, мы получаем, что косинус угла \(\alpha\) равен \(\frac{16}{25}\).