На какую высоту поднимается уровень жидкости в сосуде меньшего сечения, если в сосуде большего сечения долили жидкость

Для решения данной задачи, нам понадобятся знания из гидростатики, а именно закон Паскаля.

Согласно закону Паскаля, давление, создаваемое на жидкость, передаётся во все направления одинаково. Из этого следует, что давление на любую горизонтальную поверхность в жидкости одинаково на каждой глубине.

Давайте обозначим площадь сечения большего сосуда как \(S_1\), а меньшего сосуда - как \(S_2\).

По условию задачи, площадь сечения одного сосуда в \(n^2\) раз больше площади сечения другого сосуда. То есть

\[S_2 = n^2 \cdot S_1.\]

Теперь воспользуемся формулой для давления \(P\) в жидкости:

\[P = \frac{F}{S},\]

где \(F\) - сила, действующая на поверхность жидкости, а \(S\) - площадь этой поверхности.

Так как вода наливается только в больший сосуд, то давление в нём должно увеличиваться. Пусть \(P_1\) - давление в большем сосуде, а \(P_2\) - давление в меньшем сосуде.

Если на большем сосуде наливают некоторую жидкость, то эту же жидкость впоследствии должны увидеть и молекулы жидкости, находящиеся в меньшем сосуде. Следовательно, и давление на молекулы жидкости в меньшем сосуде должно увеличиться.

Таким образом, \(P_1 > P_2\).

Применим закон Паскаля для наших сосудов. Выберем какую-нибудь горизонтальную поверхность жидкости в обоих сосудах и рассмотрим давление на этих поверхностях.

Давление на любую горизонтальную поверхность в обоих сосудах одинаково на каждой глубине. Обозначим высоту, на которую поднялся уровень жидкости в большем сосуде, как \(h_1\), а в меньшем сосуде - \(h_2\).

Давление на поверхности жидкости в большем сосуде \(P_1\) равно

\[P_1 = P_0 + \rho_1 \cdot g \cdot h_1,\]

где \(P_0\) - атмосферное давление, \(\rho_1\) - плотность жидкости в большем сосуде, \(g\) - ускорение свободного падения.

Аналогично, давление на поверхности жидкости в меньшем сосуде \(P_2\) равно

\[P_2 = P_0 + \rho_2 \cdot g \cdot h_2,\]

где \(\rho_2\) - плотность жидкости в меньшем сосуде.

Так как, согласно закону Паскаля, давление одинаково на каждой глубине на поверхностях обоих сосудов, получаем следующее:

\[P_1 = P_2.\]

Теперь мы можем сформулировать уравнение:

\[P_0 + \rho_1 \cdot g \cdot h_1 = P_0 + \rho_2 \cdot g \cdot h_2.\]

Учитывая, что \(\rho_1 = 2p\) и \(\rho_2 = p\), получим:

\[2p \cdot g \cdot h_1 = p \cdot g \cdot h_2.\]

Делим обе части уравнения на \(p \cdot g\) и упрощаем:

\[2h_1 = h_2.\]

Таким образом, высота поднятия уровня жидкости в меньшем сосуде в \(2\) раза меньше высоты наливания жидкости в больший сосуд.

Из условия задачи мы знаем, что жидкость наливается до высоты \(12\) см в больший сосуд. Тогда высота поднятия уровня жидкости в меньшем сосуде будет:

\[h_2 = \frac{12}{2} = 6 \text{ см}.\]

Итак, получаем ответ: уровень жидкости в сосуде меньшего сечения поднимется на \(\text{6 см}\).