На какую глубину войдет в грунт цилиндрический металлический стержень, если он выступает над поверхностью земли

Для решения задачи, мы можем использовать законы механики, в частности закон сохранения энергии.

Первым шагом будем искать начальную кинетическую энергию груза, который падает с высоты 10 масса 10 кг.

Кинетическая энергия может быть найдена по формуле:
\[ E_k = \frac{1}{2} m v^2\]
где \(m\) - масса груза, \(v\) - его скорость.

Так как груз начинает свое падение с покоя, скорость будет равна 0 на высоте 10 м:

\[ v = 0 \, \text{м/с}\]

Таким образом, начальная кинетическая энергия равна нулю.

Далее, найдем конечную потенциальную энергию груза, который находится ниже поверхности земли на глубине \(h\).

Потенциальная энергия связана с высотой и массой груза следующим образом:

\[ E_p = m g h\]
где \(g\) - ускорение свободного падения, примерно равное 9,8 м/с².

Так как груз находится на глубине \(h\) ниже поверхности земли, высота его падения будет равна \(10 - h\) метров.

Затем, найдем работу, совершаемую силой сопротивления грунта, когда груз проникает в грунт. Работа вычисляется по формуле:

\[ W = F \cdot s\]
где \(F\) - сила сопротивления грунта, \(s\) - расстояние, пройденное грузом. В нашем случае, сила сопротивления грунта равна 2000 Н.

Так как груз погружается на глубину \(h\), то расстояние, пройденное грузом, будет равно \(h\) метров.

Теперь применим закон сохранения энергии:
Начальная полная энергия груза (перед падением) равна его конечной полной энергии (после внедрения в грунт):

\[ E_{k_i} + E_{p_i} = E_{k_f} + E_{p_f} + W \]
Причем, так как начальная кинетическая энергия равна нулю, у нас остается только конечная потенциальная энергия.
\[ E_{p_i} = E_{k_f} + E_{p_f} + W \]

\[ m \cdot g \cdot (10 - h) = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_f^2 + m \cdot g \cdot h + 2000 \cdot h \]

Масса груза \( m \) сократится с обеих сторон уравнения.
\[ g \cdot (10 - h) = \frac{1}{2} \cdot v_f^2 + g \cdot h + 2000 \cdot h \]
\[ 10 \cdot g - g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot v_f^2 + g \cdot h + 2000 \cdot h \]
\[ 10 \cdot g = \frac{1}{2} \cdot v_f^2 + 2 \cdot g \cdot h + 2000 \cdot h \]
\[ 10 \cdot g = \frac{1}{2} \cdot v_f^2 + (2 \cdot g + 2000) \cdot h \]

Из условия задачи известно, что \( v_f = 0 \), так как груз остановился. Подставляем это значение в уравнение:
\[ 10 \cdot g = \frac{1}{2} \cdot 0^2 + (2 \cdot g + 2000) \cdot h \]
\[ 10 \cdot g = 0 + (2 \cdot g + 2000) \cdot h \]
\[ 10 \cdot g = (2 \cdot g + 2000) \cdot h \]
\[ h = \frac{10 \cdot g}{2 \cdot g + 2000} \]

Теперь, вычислим \( h \):
\[ h = \frac{10 \cdot 9.8}{2 \cdot 9.8 + 2000} \]
\[ h = \frac{98}{2 \cdot 9.8 + 2000} \]
\[ h = \frac{98}{39.6 + 2000} \]
\[ h \approx \frac{98}{2039.6} \]
\[ h \approx 0.0481 \, \text{м} \]

Таким образом, цилиндрический металлический стержень проникнет в грунт на глубину около 0.0481 м (или около 4.81 см).