На какой максимальной глубине следует разместить точечный источник света под центром плавающего квадратного плота

Чтобы решить данную задачу, нам понадобятся знания о преломлении света и его взаимодействии с веществами с разными показателями преломления.

Для начала, давайте определим условия задачи. У нас имеется плавающий квадратный плот со стороной 4 м и показатель преломления воды, равный 1,33. Нам нужно найти максимальную глубину, на которой следует разместить точечный источник света под центром плота, чтобы предотвратить выход света в воздух.

Свет при переходе из одной среды в другую меняет свое направление из-за явления преломления. В данном случае, свет идет из воды в воздух, поэтому нам нужно использовать закон преломления Снеллиуса, который гласит: \[n_1 \cdot \sin(\theta_1) = n_2 \cdot \sin(\theta_2)\]

Где:
- \(n_1\) и \(n_2\) - показатели преломления первой и второй сред соответственно,
- \(\theta_1\) и \(\theta_2\) - углы падения и преломления соответственно.

Мы знаем, что показатель преломления воды равен 1,33. А также, чтобы предотвратить выход света в воздух, нам нужно сделать угол падения больше критического угла.

Критический угол можно найти с помощью формулы \(\sin(\theta_c) = \frac{n_2}{n_1}\).

В нашем случае, \(n_1 = 1,33\) и \(n_2 = 1\) (показатель преломления воздуха). Подставляем значения в формулу и находим критический угол.

\[\sin(\theta_c) = \frac{1}{1,33} \approx 0,751874\]

Теперь, чтобы найти глубину, на которой следует разместить источник света, мы можем использовать геометрические соображения. Поскольку плот имеет квадратную форму, его центр должен быть на одинаковом расстоянии от каждого его угла.

Из рисунка видно, что прямоугольный треугольник, образованный глубиной, стороной плота и радиус-вектором до точечного источника света, будет подобным треугольнику, образованному глубиной и катетом прямоугольного треугольника, образованного диагональю плота и его стороной.

Поскольку сторона плота равна 4 м, то диагональ равна \(4\sqrt{2}\) м (по теореме Пифагора).

Зная это, мы можем найти соотношение между глубиной и диагональю плота с помощью подобия треугольников:

\[\frac{\text{глубина}}{4} = \frac{\text{глубина}_\text{макс}}{4\sqrt{2}}\]

Домножаем обе части уравнения на 4\sqrt{2} и получаем:

\[\text{глубина}_\text{макс} = \frac{\text{глубина}}{\sqrt{2}}\]

Теперь нам нужно определить, какой процент света будет предотвращен при данной глубине источника. Для этого нам потребуется закон Бугера, который описывает процент света, задерживаемый при преломлении:

\[T = \left(1 - \frac{\sin(\theta_2)}{\sin(\theta_1)}\right)^2\]

Где:
- \(T\) - коэффициент пропускания света через поверхность,
- \(\theta_1\) - угол падения,
- \(\theta_2\) - угол преломления.

В нашем случае, \(\theta_1\) будет равен критическому углу. Подставим значения и найдем коэффициент пропускания.

\[\theta_1 = \arcsin(0,751874) \approx 48,75^\circ\]
\[\theta_2 = 90^\circ\]
\[T = \left(1 - \frac{\sin(\theta_2)}{\sin(\theta_1)}\right)^2 \approx 0,094816\]

Таким образом, при максимальной глубине, найденной ранее, будет задерживаться около 9,5% света.

В итоге, максимальную глубину, на которой следует разместить точечный источник света, чтобы предотвратить выход света в воздух, можно найти, используя формулу:

\[\text{глубина}_\text{макс} = \frac{\text{глубина}}{\sqrt{2}}\]

При этой глубине будет задерживаться около 9,5% света.