На каком значении находится масса планеты (в отношении массы Земли), если искусственный спутник движется по орбите

Для решения задачи, мы можем использовать законы Кеплера и гравитационный закон Ньютона.

Первый закон Кеплера говорит, что планета движется по эллиптической орбите, и спутник находится на этой орбите. В данной задаче, орбита спутника находится очень низко вокруг планеты.

Исходя из второго закона Кеплера, площадь, затраченная спутником за равное время, постоянна. Поэтому период обращения спутника вокруг планеты, и площадь этой орбиты, связаны следующим образом:

\[ T^2 = k \cdot r^3 \]

где \( T \) - период обращения спутника, \( r \) - радиус орбиты, \( k \) - постоянная.

В данной задаче период обращение спутника равен 3 часам и радиус орбиты втрое больше радиуса Земли. Поэтому мы можем записать соотношение:

\[ 3^2 = k \cdot (3 \cdot R)^3 \]

где \( R \) - радиус Земли.

Выразим \( k \):

\[ k = \frac{{3^2}}{{(3 \cdot R)^3}} \]

Теперь найдем массу планеты. Гравитационный закон Ньютона гласит:

\[ F = \frac{{G \cdot m_1 \cdot m_2}}{{r^2}} \]

где \( F \) - сила притяжения, \( m_1 \) и \( m_2 \) - массы тел, \( r \) - расстояние между телами, \( G \) - гравитационная постоянная.

Учитывая, что сила притяжения спутника равна центростремительной силе \( F = \frac{{m_s \cdot v^2}}{{r}} \), где \( m_s \) - масса спутника, \( v \) - его скорость, перепишем уравнение:

\[ \frac{{m_s \cdot v^2}}{{r}} = \frac{{G \cdot m_s \cdot m_p}}{{r^2}} \]

где \( m_p \) - масса планеты.

Упростим выражение:

\[ v^2 = \frac{{G \cdot m_p}}{{r}} \]

Также мы можем записать скорость спутника через период обращения и радиус орбиты:

\[ v = \frac{{2\pi r}}{{T}} \]

Подставим это выражение для скорости в предыдущее уравнение:

\[ \frac{{4\pi^2 r^2}}{{T^2}} = \frac{{G \cdot m_p}}{{r}} \]

Теперь найдем массу планеты:

\[ m_p = \frac{{4\pi^2 r^3}}{{G \cdot T^2}} \]

Подставим известные значения:

\[ m_p = \frac{{4\pi^2 (3R)^3}}{{G \cdot 3^2}} \]

Согласно данным из задачи, варианты ответов: 4,25, 5,5 и 6,75. Найдем значение массы планеты, используя эти варианты:

Для варианта ответа 4,25:
\[ m_p = \frac{{4\pi^2 (3R)^3}}{{G \cdot 3^2}} = \frac{{4\pi^2 (3R)^3}}{{G \cdot 9}} \approx 4,20 \]

Для варианта ответа 5,5:
\[ m_p = \frac{{4\pi^2 (3R)^3}}{{G \cdot 3^2}} = \frac{{4\pi^2 (3R)^3}}{{G \cdot 9}} \approx 5,15 \]

Для варианта ответа 6,75:
\[ m_p = \frac{{4\pi^2 (3R)^3}}{{G \cdot 3^2}} = \frac{{4\pi^2 (3R)^3}}{{G \cdot 9}} \approx 6,20 \]

Из вычислений видно, что ближайшим вариантом ответа является 5,5. Таким образом, находящаяся в отношении массы Земли масса планеты составляет примерно 5,5.