На каком расстоянии от Солнца находится планета с орбитальным периодом в 8 лет?

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать законы Кеплера о движении планет.

Первый закон Кеплера гласит, что планеты движутся по эллиптическим орбитам, где Солнце находится в одном из фокусов эллипса.

Орбитальный период (T) планеты (в данном случае восемь лет) определяется вторым законом Кеплера. Который говорит, что радиус-вектор планеты описывает равные площади за равные промежутки времени.

Формула, которую мы можем использовать, называется "третьим законом Кеплера":

\[\frac{T^2}{R^3} = \frac{4\pi^2}{G \cdot M}\]

где T - орбитальный период, R - расстояние от планеты до Солнца, G - гравитационная постоянная (приблизительно \(6.67430 \times 10^{-11}\, \text{м}^3/(\text{кг} \cdot \text{сек}^2)\)), а M - масса Солнца (приблизительно \(1.989 \times 10^{30}\, \text{кг}\)).

Наша задача - найти R, расстояние от планеты до Солнца. Для этого мы можем перейти к следующим шагам:

1. Вставляем известные значения в формулу:

\[\frac{8^2}{R^3} = \frac{4\pi^2}{6.67430 \times 10^{-11} \cdot 1.989 \times 10^{30}}\]

2. Возводим \(8^2\) в квадрат и упрощаем выражение:

\[\frac{64}{R^3} = \frac{4\pi^2}{6.67430 \times 10^{-11} \cdot 1.989 \times 10^{30}}\]

3. Переносим \(R^3\) в другую сторону и упрощаем дробь:

\[R^3 = \frac{64}{\frac{4\pi^2}{6.67430 \times 10^{-11} \cdot 1.989 \times 10^{30}}}\]

4. Находим обратное значение для дроби:

\[R^3 = \frac{64 \cdot 6.67430 \times 10^{-11} \cdot 1.989 \times 10^{30}}{4\pi^2}\]

5. Вычисляем числитель и знаменатель дроби:

\[R^3 = 8.7038257 \times 10^{47} \, \text{м}^3\]

6. Находим кубический корень \(R^3\), чтобы получить R:

\[R = (8.7038257 \times 10^{47})^{\frac{1}{3}}\]

7. Вычисляем значение R:

\[R \approx 4.326 \times 10^{15}\, \text{м}\]

Таким образом, планета с орбитальным периодом в 8 лет находится на расстоянии около \(4.326 \times 10^{15}\) метров от Солнца.