На каком расстоянии от объектива нужно расположить предмет, чтобы снять его в масштабе 1/9 с помощью объектива

Для решения данной задачи нам понадобятся основные принципы оптики и формула тонкой линзы.

Формула тонкой линзы гласит:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{g} + \frac{1}{b}\]

Где:
\(f\) - фокусное расстояние линзы (в данном случае объектива),
\(g\) - расстояние от предмета до объектива (т.е. передней главной плоскости),
\(b\) - расстояние от изображения до объектива (т.е. задней главной плоскости).

Мы хотим снять предмет в масштабе 1/9, что означает, что изображение будет 9 раз меньше предмета. Используя масштаб, мы можем записать следующее соотношение:

\[\frac{b}{g} = \frac{1}{9}\]

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (фокусное расстояние \(f\) и расстояние от объекта до объектива \(g\)). Мы можем решить эту систему уравнений.

Подставим значение \(g\) из второго уравнения в первое уравнение:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{\frac{9}{b}} + \frac{1}{b}\]

Упростим выражение:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{\frac{9}{b}} + \frac{1}{b} = \frac{1}{\frac{9+b}{b}} + \frac{1}{b} = \frac{b}{b+9} + \frac{1}{b}\]

Сократим дроби:

\[\frac{1}{f} = \frac{b}{b+9} + \frac{1}{b} = \frac{b+9}{b(b+9)} + \frac{1}{b} = \frac{b+9+b(b+9)}{b(b+9)}\]

Умножим обе части выражения на \(b(b+9)\):

\[b(b+9) \cdot \frac{1}{f} = b+9+b(b+9)\]

Раскроем скобки:

\[b^2+9b = b+9+b^2+9b\]

Сократим некоторые члены:

\[0 = 9+9b\]

Теперь решим получившееся уравнение:

\[9b = -9\]

\[b = -1\]

Мы получили, что расстояние \(b\) от предмета до объектива равно -1. Однако, в данном случае отрицательное значение не имеет физического смысла, поэтому мы отбрасываем это значение.

Таким образом, чтобы снять предмет в масштабе 1/9 с помощью объектива с фокусным расстоянием \(f\), расстояние от объектива до предмета должно быть 9 единиц.