На каком расстоянии от линзы расположен предмет и каково фокусное расстояние этой линзы, если экран находится

Давайте решим эту задачу о расстоянии от линзы до предмета и фокусном расстоянии линзы.

Мы знаем, что экран находится на расстоянии \(f = 49\) см от линзы и на нем получено изображение в два раза большее, чем предмет. Давайте обозначим расстояние от линзы до предмета как \(d\) и фокусное расстояние линзы как \(f\).

Если изображение на экране получено в два раза большее, чем предмет, значит, отношение высоты изображения к высоте предмета равно \(2\). Это можно записать следующим образом:

\(\frac{h"}{h} = 2\),

где \(h"\) - высота изображения, \(h\) - высота предмета.

Также у нас есть формула тонкой линзы, которая связывает фокусное расстояние, расстояние до предмета и расстояние до изображения:

\(\frac{1}{f} = \frac{1}{d} + \frac{1}{d"}\),

где \(d"\) - расстояние от линзы до изображения.

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо найти значения для расстояния \(d\) и фокусного расстояния \(f\). Для этого мы можем использовать систему уравнений из двух формул.

Из первого уравнения мы можем найти значение \(h"\):

\(\frac{h"}{h} = 2 \Rightarrow h" = 2h\).

Теперь мы можем подставить это значение во второе уравнение:

\(\frac{1}{f} = \frac{1}{d} + \frac{1}{d"}\).

Так как фокусное расстояние \(f\) известно и равно \(49\) см, мы можем записать:

\(\frac{1}{49} = \frac{1}{d} + \frac{1}{d"}\).

Таким образом, у нас есть два уравнения:

\(h" = 2h\) и \(\frac{1}{49} = \frac{1}{d} + \frac{1}{d"}\).

Мы хотим найти значения для расстояния \(d\) и \(f\).

Чтобы решить эту систему уравнений, давайте выразим расстояние \(d"\) во втором уравнении через значение \(h\) из первого уравнения. Подставим \(h" = 2h\) во второе уравнение:

\(\frac{1}{49} = \frac{1}{d} + \frac{1}{2h}\).

Теперь найдем общий знаменатель у правой части уравнения и объединим слагаемые:

\(\frac{1}{49} = \frac{2h + d}{2dh}\).

Теперь перепишем уравнение в форме с общим знаменателем:

\(\frac{1}{49} = \frac{2h + d}{2dh}\).

Теперь умножим обе части уравнения на \(49 \cdot 2dh\) для избавления от дроби в знаменателе. Получим следующее:

\(2dh = (2h + d) \cdot 49\).

Раскроем скобки:

\(2dh = 98h + 49d\).

Расставим переменные в одну сторону уравнения и константы в другую:

\(2dh - 49d = 98h\).

Теперь выразим \(h\) через \(d\):

\(h = \frac{2dh - 49d}{98}\).

Из первого уравнения \(h" = 2h\), мы можем найти значение \(h"\):

\(h" = 2 \cdot \frac{2dh - 49d}{98}\).

Упростим выражение:

\(h" = \frac{2dh - 49d}{49}\).

Теперь мы можем выразить \(d"\) через \(h"\) и \(h\):

\(d" = d + h - h"\).

Подставим значения \(h" = \frac{2dh - 49d}{49}\), \(h\) и \(d\) в это уравнение:

\(d" = d + h - \frac{2dh - 49d}{49}\).

Упростим выражение:

\(d" = \frac{50d - 48h}{49}\).

Итак, мы получили два уравнения:

\(h" = \frac{2dh - 49d}{49}\) и \(d" = \frac{50d - 48h}{49}\).

Теперь у нас есть система уравнений, которую мы можем решить для нахождения значений для расстояния \(d\) и \(f\).

Оба ответа будут выражены в сантиметрах.