На каком расстоянии от линзы расположен предмет и каково фокусное расстояние этой линзы, если экран находится

Давайте решим эту задачу о расстоянии от линзы до предмета и фокусном расстоянии линзы.

Мы знаем, что экран находится на расстоянии $f=49$ см от линзы и на нем получено изображение в два раза большее, чем предмет. Давайте обозначим расстояние от линзы до предмета как $d$ и фокусное расстояние линзы как $f$.

Если изображение на экране получено в два раза большее, чем предмет, значит, отношение высоты изображения к высоте предмета равно $2$. Это можно записать следующим образом:

$\frac{h"}{h}=2$,

где $h"$ - высота изображения, $h$ - высота предмета.

Также у нас есть формула тонкой линзы, которая связывает фокусное расстояние, расстояние до предмета и расстояние до изображения:

$\frac{1}{f}=\frac{1}{d}+\frac{1}{d"}$,

где $d"$ - расстояние от линзы до изображения.

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо найти значения для расстояния $d$ и фокусного расстояния $f$. Для этого мы можем использовать систему уравнений из двух формул.

Из первого уравнения мы можем найти значение $h"$:

$\frac{h"}{h}=2\Rightarrow h"=2h$.

Теперь мы можем подставить это значение во второе уравнение:

$\frac{1}{f}=\frac{1}{d}+\frac{1}{d"}$.

Так как фокусное расстояние $f$ известно и равно $49$ см, мы можем записать:

$\frac{1}{49}=\frac{1}{d}+\frac{1}{d"}$.

Таким образом, у нас есть два уравнения:

$h"=2h$ и $\frac{1}{49}=\frac{1}{d}+\frac{1}{d"}$.

Мы хотим найти значения для расстояния $d$ и $f$.

Чтобы решить эту систему уравнений, давайте выразим расстояние $d"$ во втором уравнении через значение $h$ из первого уравнения. Подставим $h"=2h$ во второе уравнение:

$\frac{1}{49}=\frac{1}{d}+\frac{1}{2h}$.

Теперь найдем общий знаменатель у правой части уравнения и объединим слагаемые:

$\frac{1}{49}=\frac{2h+d}{2dh}$.

Теперь перепишем уравнение в форме с общим знаменателем:

$\frac{1}{49}=\frac{2h+d}{2dh}$.

Теперь умножим обе части уравнения на $49\cdot 2dh$ для избавления от дроби в знаменателе. Получим следующее:

$2dh=(2h+d)\cdot 49$.

Раскроем скобки:

$2dh=98h+49d$.

Расставим переменные в одну сторону уравнения и константы в другую:

$2dh-49d=98h$.

Теперь выразим $h$ через $d$:

$h=\frac{2dh-49d}{98}$.

Из первого уравнения $h"=2h$, мы можем найти значение $h"$:

$h"=2\cdot \frac{2dh-49d}{98}$.

Упростим выражение:

$h"=\frac{2dh-49d}{49}$.

Теперь мы можем выразить $d"$ через $h"$ и $h$:

$d"=d+h-h"$.

Подставим значения $h"=\frac{2dh-49d}{49}$, $h$ и $d$ в это уравнение:

$d"=d+h-\frac{2dh-49d}{49}$.

Упростим выражение:

$d"=\frac{50d-48h}{49}$.

Итак, мы получили два уравнения:

$h"=\frac{2dh-49d}{49}$ и $d"=\frac{50d-48h}{49}$.

Теперь у нас есть система уравнений, которую мы можем решить для нахождения значений для расстояния $d$ и $f$.

Оба ответа будут выражены в сантиметрах.