На каком расстоянии от линзы находится предмет, если собирающая линза создает действительное изображение, которое

Для решения данной задачи нам необходимо использовать формулу тонкой линзы:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{d_{о}} - \frac{1}{d_{i}}\]

где \(f\) - фокусное расстояние линзы, \(d_{о}\) - расстояние от линзы до предмета, \(d_{i}\) - расстояние от линзы до изображения.

Из условия задачи уже известно, что изображение является действительным, что означает, что \(d_{i}\) положительно. Также известно, что изображение отстает от предмета на расстояние \(l = 51\) см, то есть \(d_{i} = d_{о}+l\).

Также дано, что предмет меньше своего изображения в \(n = 4,4\) раза. Это можно записать следующим образом:

\[\frac{h_{о}}{h_{i}} = n\]

где \(h_{о}\) - высота предмета, \(h_{i}\) - высота изображения.

Так как \(h_{о}\) и \(h_{i}\) связаны с расстояниями от линзы до предмета и до изображения, соответственно, то можно записать следующее:

\[\frac{h_{о}}{d_{о}} = \frac{h_{i}}{d_{i}}\]

Разворачивая полученное уравнение, получим:

\[\frac{h_{о}}{d_{о}} = \frac{(h_{о} \cdot n)}{(d_{о}+l)}\]

Подставляя это в формулу тонкой линзы, получим:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{d_{о}} - \frac{1}{d_{о}+l}\]

Теперь решим полученное уравнение относительно \(d_{о}\):

\[\frac{1}{f} = \frac{d_{о}+l - d_{о}}{d_{о} \cdot (d_{о}+l)}\]

\[\frac{1}{f} = \frac{l}{d_{о} \cdot (d_{о}+l)}\]

Умножим обе части уравнения на \(d_{о} \cdot (d_{о}+l)\):

\(1 = \frac{l}{f} \cdot \frac{d_{о} \cdot (d_{о}+l)}{d_{о} \cdot (d_{о}+l)}\)

\(1 = \frac{l}{f}\)

Таким образом, получаем уравнение:

\(l = f\)

Теперь подставим известные значения:

\(l = 51 \, \text{см}\)

Округляем до целого числа, получаем, что предмет находится на расстоянии \(51\) см от линзы.