На каком расстоянии от главной оптической оси собирающей линзы находится тонкая палочка небольшой длины, если она расположена вдоль оси на 30 см и дает действительное изображение с увеличением в 16 раз? Если данную короткую палочку сдвинуть вдоль оси на 6 см дальше от линзы, как изменится длина изображения? Учтите, что при |x| < < 1 справедлива формула 1/(1+x)=1-x.
Баська
Для решения данной задачи воспользуемся формулой тонкой линзы:
\[\frac{1}{f} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\]
где \(f\) - фокусное расстояние линзы, \(a\) - расстояние от предмета до линзы, \(b\) - расстояние от изображения до линзы.
Из условия "она расположена вдоль оси на 30 см" можно сделать вывод, что расстояние от предмета до линзы равно 30 см.
Также известно, что данная палочка дает действительное изображение с увеличением в 16 раз. Увеличение можно определить по формуле:
\[\text{Увеличение} = -\frac{b}{a}\]
Подставим известные значения в формулу и найдем фокусное расстояние:
\[\frac{1}{f} = \frac{1}{30} + \frac{1}{b}\]
\[\frac{1}{f} = \frac{b + 30}{30b}\]
\[\frac{30b}{b + 30} = f\]
Теперь используем вторую часть задачи. Если сдвинуть палочку на 6 см дальше от линзы, то новое расстояние от предмета до линзы будет равно 30 + 6 = 36 см. Обозначим новое расстояние от изображения до линзы как \(b_2\).
Тогда, используя ту же формулу, найдем новое фокусное расстояние:
\[\frac{1}{f_2} = \frac{1}{36} + \frac{1}{b_2}\]
\[\frac{1}{f_2} = \frac{b_2 + 36}{36b_2}\]
\[\frac{36b_2}{b_2 + 36} = f_2\]
Теперь найдем новое изображение палочки. Для этого воспользуемся формулой увеличения:
\[\text{Увеличение} = -\frac{b_2}{36}\]
Из формулы \(\text{Увеличение} = -\frac{b}{a}\) можно сделать вывод, что увеличение не зависит от расстояния от линзы до предмета, поэтому оно останется равным 16.
Теперь остается только вычислить новую длину изображения. Известно, что при \(|x| \ll 1\) справедлива формула \(1/(1+x)=1-x\).
\[\frac{b_2}{36} = -16\]
\[\frac{b_2}{36} = -\frac{16}{1 + \frac{b_2}{36}}\]
\[\frac{b_2}{36} = -\frac{16}{\frac{36 + b_2}{36}}\]
\[\frac{b_2}{36} = -\frac{16 \cdot 36}{36 + b_2}\]
\[b_2 = -\frac{16 \cdot 36 \cdot 36}{36 + b_2}\]
\[b_2^2 + 36b_2 = -16 \cdot 36 \cdot 36\]
\[b_2^2 + 36b_2 + 16 \cdot 36 \cdot 36 = 0\]
Данное квадратное уравнение можно решить, используя дискриминант:
\[D = b_2^2 + 4 \cdot 36 \cdot 16 \cdot 36\]
\[D = b_2^2 + 4 \cdot 36^2 \cdot 16\]
\[D = b_2^2 + 4 \cdot 6^2 \cdot (6 \cdot 36)\]
\[D = b_2^2 + 4 \cdot 6^2 \cdot 216\]
\[D = b_2^2 + 4 \cdot (6 \cdot 6)^2 \cdot 36\]
\[D = b_2^2 + (2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6)^2\]
\[D = (b_2 + 2 \cdot 6 \cdot 6)^2\]
\[b_2 + 2 \cdot 6 \cdot 6 = \pm \sqrt{D}\]
\[b_2 = -2 \cdot 6 \cdot 6 \pm \sqrt{D}\]
\[b_2 = -72 \pm \sqrt{D}\]
Раскрывая \(D\), получаем:
\[b_2 = -72 \pm \sqrt{b_2^2 + 4 \cdot 36^2 \cdot 16}\]
Таким образом, длина изображения будет равна \(-72 + \sqrt{b_2^2 + 4 \cdot 36^2 \cdot 16}\) или \(-72 - \sqrt{b_2^2 + 4 \cdot 36^2 \cdot 16}\). Но для определения конкретной длины изображения необходимо решить квадратное уравнение и подставить полученное значение расстояния \(b_2\).
\[\frac{1}{f} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}\]
где \(f\) - фокусное расстояние линзы, \(a\) - расстояние от предмета до линзы, \(b\) - расстояние от изображения до линзы.
Из условия "она расположена вдоль оси на 30 см" можно сделать вывод, что расстояние от предмета до линзы равно 30 см.
Также известно, что данная палочка дает действительное изображение с увеличением в 16 раз. Увеличение можно определить по формуле:
\[\text{Увеличение} = -\frac{b}{a}\]
Подставим известные значения в формулу и найдем фокусное расстояние:
\[\frac{1}{f} = \frac{1}{30} + \frac{1}{b}\]
\[\frac{1}{f} = \frac{b + 30}{30b}\]
\[\frac{30b}{b + 30} = f\]
Теперь используем вторую часть задачи. Если сдвинуть палочку на 6 см дальше от линзы, то новое расстояние от предмета до линзы будет равно 30 + 6 = 36 см. Обозначим новое расстояние от изображения до линзы как \(b_2\).
Тогда, используя ту же формулу, найдем новое фокусное расстояние:
\[\frac{1}{f_2} = \frac{1}{36} + \frac{1}{b_2}\]
\[\frac{1}{f_2} = \frac{b_2 + 36}{36b_2}\]
\[\frac{36b_2}{b_2 + 36} = f_2\]
Теперь найдем новое изображение палочки. Для этого воспользуемся формулой увеличения:
\[\text{Увеличение} = -\frac{b_2}{36}\]
Из формулы \(\text{Увеличение} = -\frac{b}{a}\) можно сделать вывод, что увеличение не зависит от расстояния от линзы до предмета, поэтому оно останется равным 16.
Теперь остается только вычислить новую длину изображения. Известно, что при \(|x| \ll 1\) справедлива формула \(1/(1+x)=1-x\).
\[\frac{b_2}{36} = -16\]
\[\frac{b_2}{36} = -\frac{16}{1 + \frac{b_2}{36}}\]
\[\frac{b_2}{36} = -\frac{16}{\frac{36 + b_2}{36}}\]
\[\frac{b_2}{36} = -\frac{16 \cdot 36}{36 + b_2}\]
\[b_2 = -\frac{16 \cdot 36 \cdot 36}{36 + b_2}\]
\[b_2^2 + 36b_2 = -16 \cdot 36 \cdot 36\]
\[b_2^2 + 36b_2 + 16 \cdot 36 \cdot 36 = 0\]
Данное квадратное уравнение можно решить, используя дискриминант:
\[D = b_2^2 + 4 \cdot 36 \cdot 16 \cdot 36\]
\[D = b_2^2 + 4 \cdot 36^2 \cdot 16\]
\[D = b_2^2 + 4 \cdot 6^2 \cdot (6 \cdot 36)\]
\[D = b_2^2 + 4 \cdot 6^2 \cdot 216\]
\[D = b_2^2 + 4 \cdot (6 \cdot 6)^2 \cdot 36\]
\[D = b_2^2 + (2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6)^2\]
\[D = (b_2 + 2 \cdot 6 \cdot 6)^2\]
\[b_2 + 2 \cdot 6 \cdot 6 = \pm \sqrt{D}\]
\[b_2 = -2 \cdot 6 \cdot 6 \pm \sqrt{D}\]
\[b_2 = -72 \pm \sqrt{D}\]
Раскрывая \(D\), получаем:
\[b_2 = -72 \pm \sqrt{b_2^2 + 4 \cdot 36^2 \cdot 16}\]
Таким образом, длина изображения будет равна \(-72 + \sqrt{b_2^2 + 4 \cdot 36^2 \cdot 16}\) или \(-72 - \sqrt{b_2^2 + 4 \cdot 36^2 \cdot 16}\). Но для определения конкретной длины изображения необходимо решить квадратное уравнение и подставить полученное значение расстояния \(b_2\).
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
