На каком расстоянии друг от друга окажутся два тела, начав двигаться одновременно из одной точки, двигаясь в одном

Для решения этой задачи мы будем использовать формулы для вычисления расстояния, пройденного телом со временем \[s = ut + \frac{1}{2}at^2\], где s - расстояние, u - начальная скорость, t - время, a - ускорение.

Давайте начнем с первого тела:
Дано:
Начальная скорость первого тела: \(v_1 = 2t^2 + 4t\) м/с
Время: \(t = 10\) сек

Для расчета расстояния, пройденного первым телом, нам нужно знать начальную скорость и ускорение.
Ускорение - это производная скорости по времени, поэтому мы должны найти производную функции \(v_1\) по \(t\):

\[
a_1 = \frac{dv_1}{dt} = 2(2t) + 4 = 4t + 4
\]

Теперь мы можем использовать формулу для расчета расстояния:
\[
s_1 = v_1t + \frac{1}{2}a_1t^2
\]

Подставим значения и рассчитаем:
\[
s_1 = (2t^2 + 4t) \cdot t + \frac{1}{2}(4t + 4) \cdot t^2
\]

\[
s_1 = 2t^3 + 4t^2 + 2t^3 + 2t^2
\]

\[
s_1 = 4t^3 + 6t^2
\]

Теперь давайте перейдем ко второму телу:
Дано:
Начальная скорость второго тела: \(v_2 = 3t + 2\) м/с
Время: \(t = 10\) сек

Аналогично первому телу, нам нужно найти ускорение второго тела.
Находим производную функции \(v_2\) по \(t\):

\[
a_2 = \frac{dv_2}{dt} = 3
\]

Снова используем формулу для расчета расстояния:
\[
s_2 = v_2t + \frac{1}{2}a_2t^2
\]

Подставляем значения и рассчитываем:
\[
s_2 = (3t + 2) \cdot t + \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot t^2
\]

\[
s_2 = 3t^2 + 2t + \frac{3}{2}t^2
\]

\[
s_2 = \frac{9}{2}t^2 + 2t
\]

Теперь мы можем найти расстояние между двумя телами, вычтя расстояние, пройденное вторым телом из расстояния, пройденного первым телом:
\[
s = s_1 - s_2
\]

Подставим выражения для \(s_1\) и \(s_2\) и рассчитаем:
\[
s = (4t^3 + 6t^2) - (\frac{9}{2}t^2 + 2t)
\]

\[
s = 4t^3 + 6t^2 - \frac{9}{2}t^2 - 2t
\]

\[
s = 4t^3 + \frac{3}{2}t^2 - 2t
\]

Таким образом, через 10 секунд два тела будут находиться на расстоянии \(4t^3 + \frac{3}{2}t^2 - 2t\) от друг друга. Подставив \(t = 10\), мы можем рассчитать конкретное значение расстояния:

\[
s = 4(10^3) + \frac{3}{2}(10^2) - 2(10)
\]

\[
s = 4000 + 150 - 20
\]

\[
s = 4130 \, \text{метров}
\]

Таким образом, через 10 секунд два тела будут находиться на расстоянии 4130 метров друг от друга.