На каком интервале расположен корень уравнения (1/32)^0,5x+1=8?

Давайте решим данное уравнение пошагово, чтобы вы могли легко понять каждую часть решения.

Уравнение, которое нам дано, выглядит следующим образом: \((\frac{1}{32})^{\frac{1}{2}x + 1} = 8\).

Первый шаг - избавиться от степени. Для этого возведем обе части уравнения в степень \(\frac{1}{2}\):

\((\sqrt{\frac{1}{32}})^{(\frac{1}{2}x + 1)} = (\sqrt{8})\).

Простое числовое вычисление показывает, что \(\sqrt{\frac{1}{32}} = \frac{1}{\sqrt{32}} = \frac{1}{\sqrt{2^5}} = \frac{1}{2^{\frac{5}{2}}} = \frac{1}{2^{\frac{4}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2^2 \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4\cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{8}\).

И теперь у нас получается следующее уравнение: \((\frac{\sqrt{2}}{8})^{(\frac{1}{2}x + 1)} = (\sqrt{8})\).

Следующий шаг - упростить выражение \(\sqrt{8}\). Мы знаем, что \(\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot \sqrt{2}\).

Теперь наше уравнение выглядит так: \((\frac{\sqrt{2}}{8})^{(\frac{1}{2}x + 1)} = 2 \cdot \sqrt{2}\).

Мы хотим найти интервал, на котором существует корень этого уравнения. Для начала, заметим, что левая часть уравнения является положительным числом, потому что основание \(\frac{\sqrt{2}}{8}\) положительное, и мы возводим его в степень равную \(\frac{1}{2}x + 1\), что тоже является положительным числом. Это значит, что уравнение \((\frac{\sqrt{2}}{8})^{(\frac{1}{2}x + 1)} = 2 \cdot \sqrt{2}\) имеет смысл только при положительной правой части.

Поскольку \(\sqrt{2}\) - положительное число, то \(\sqrt{2} > 0\) и \(2 \cdot \sqrt{2} > 0\).

Таким образом, корень уравнения существует только при положительной правой части, то есть когда \(2 \cdot \sqrt{2} > 0\).

Из этого следует, что корень уравнения существует на всем числовой промежутке от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Ответ: Корень уравнения \((\frac{1}{32})^{0,5x+1} = 8\) находится на интервале (-∞, +∞).