На какое число разделил Ваня задуманное число последовательно на 4, на 5 и на 9, получив в каждом случае некоторый

Давайте решим данную задачу шаг за шагом.

Предположим, что Ваня задумал число \(x\). Мы знаем, что он разделил это число последовательно на 4, на 5 и на 9, и получил остатки. Обозначим эти остатки как \(r_1\), \(r_2\) и \(r_3\) соответственно.

По условию задачи, сумма этих остатков составляет 15:

\[ r_1 + r_2 + r_3 = 15 \]

Теперь нам нужно найти остаток, который Ваня получает при делении задуманного числа нацело.

Обозначим через \(q_1\), \(q_2\) и \(q_3\) целочисленные частные при делении задуманного числа на 4, 5 и 9 соответственно:

\[ x = 4q_1 + r_1 \]
\[ x = 5q_2 + r_2 \]
\[ x = 9q_3 + r_3 \]

Теперь объединим все эти равенства:

\[ x + x + x = 4q_1 + 5q_2 + 9q_3 + r_1 + r_2 + r_3 = 15 + 4q_1 + 5q_2 + 9q_3 \]

Так как в левой части у нас три числа \(x\), то можем записать это равенство как:

\[ 3x = 15 + 4q_1 + 5q_2 + 9q_3 \]

Таким образом, мы получили, что задуманное число умноженное на 3 равно сумме 15 и некоторой целой числовой комбинации 4, 5 и 9.

Чтобы продолжить решение, нам нужны некоторые ограничения на \(q_1\), \(q_2\) и \(q_3\). Посмотрим на числа 4, 5 и 9. Заметим, что они все взаимно простые, то есть не имеют общих делителей, кроме 1.

Теперь воспользуемся утверждением из теории чисел, которое говорит, что если числа \(a\) и \(b\) взаимно просты, то существуют целые числа \(m\) и \(n\) такие, что \(am + bn = 1\).

В нашем случае, мы имеем:

\[ 4m + 5n = 1 \]
\[ 5n + 9k = 1 \]
\[ 4m + 9k = 1 \]

Учитывая ограничение \(0 \leq q_1 < 4\), \(0 \leq q_2 < 5\) и \(0 \leq q_3 < 9\), решаем эти уравнения и получаем:

\[ q_1 = 4 - 4m \]
\[ q_2 = 5 - 5n \]
\[ q_3 = 9 - 9k \]

Теперь мы можем подставить значения \(q_1\), \(q_2\) и \(q_3\) в наше уравнение:

\[ 3x = 15 + 4(4 - 4m) + 5(5 - 5n) + 9(9 - 9k) \]

Упростим это выражение:

\[ 3x = 15 + 16 - 16m + 25 - 25n + 81 - 81k \]

\[ 3x = 137 - 16m - 25n - 81k \]

На этом этапе нам нужно заметить, что остаток результата деления любого числа на 3 всегда равен остатку суммы его цифр. Таким образом, остаток у числа 137 при делении нацело на 3 равен:

\[ 137 \mod 3 = 1 \]

Теперь мы знаем, что остаток у числа \(3x\) при делении нацело на 3 равен 1.

Вспомним наше уравнение:

\[ 3x = 137 - 16m - 25n - 81k \]

Учитывая, что 3 является делителем левой части и что \(137 - 16m - 25n - 81k\) является целым числом, остаток от деления правой части нацело на 3 также равен 1.

Теперь мы можем продолжить:

\[ (137 - 16m - 25n - 81k) \mod 3 = 1 \]

Заметим, что -16, -25 и -81 эквивалентны остаткам 2, 1 и 0 по модулю 3 соответственно. Значит, это равенство можно записать как:

\[ (2 + 1 + 0) \mod 3 = 1 \]

\[ 3 \mod 3 = 1 \]

\[ 1 = 1 \]

Таким образом, мы доказали, что остаток, полученный числом Ваней при делении нацело задуманного числа, также равен 1.

Итак, ответ на задачу: остаток, полученный задуманным числом Ваней при делении нацело, равен 1.