На какое число разделил Ваня задуманное число последовательно на 4, на 5 и на 9, получив в каждом случае некоторый

Давайте решим данную задачу шаг за шагом.

Предположим, что Ваня задумал число $x$. Мы знаем, что он разделил это число последовательно на 4, на 5 и на 9, и получил остатки. Обозначим эти остатки как $r_1$, $r_2$ и $r_3$ соответственно.

По условию задачи, сумма этих остатков составляет 15:

$$r_1+r_2+r_3=15$$

Теперь нам нужно найти остаток, который Ваня получает при делении задуманного числа нацело.

Обозначим через $q_1$, $q_2$ и $q_3$ целочисленные частные при делении задуманного числа на 4, 5 и 9 соответственно:

$$x=4q_1+r_1$$
$$x=5q_2+r_2$$
$$x=9q_3+r_3$$

Теперь объединим все эти равенства:

$$x+x+x=4q_1+5q_2+9q_3+r_1+r_2+r_3=15+4q_1+5q_2+9q_3$$

Так как в левой части у нас три числа $x$, то можем записать это равенство как:

$$3x=15+4q_1+5q_2+9q_3$$

Таким образом, мы получили, что задуманное число умноженное на 3 равно сумме 15 и некоторой целой числовой комбинации 4, 5 и 9.

Чтобы продолжить решение, нам нужны некоторые ограничения на $q_1$, $q_2$ и $q_3$. Посмотрим на числа 4, 5 и 9. Заметим, что они все взаимно простые, то есть не имеют общих делителей, кроме 1.

Теперь воспользуемся утверждением из теории чисел, которое говорит, что если числа $a$ и $b$ взаимно просты, то существуют целые числа $m$ и $n$ такие, что $am+bn=1$.

В нашем случае, мы имеем:

$$4m+5n=1$$
$$5n+9k=1$$
$$4m+9k=1$$

Учитывая ограничение $0\le q_1<4$, $0\le q_2<5$ и $0\le q_3<9$, решаем эти уравнения и получаем:

$$q_1=4-4m$$
$$q_2=5-5n$$
$$q_3=9-9k$$

Теперь мы можем подставить значения $q_1$, $q_2$ и $q_3$ в наше уравнение:

$$3x=15+4(4-4m)+5(5-5n)+9(9-9k)$$

Упростим это выражение:

$$3x=15+16-16m+25-25n+81-81k$$

$$3x=137-16m-25n-81k$$

На этом этапе нам нужно заметить, что остаток результата деления любого числа на 3 всегда равен остатку суммы его цифр. Таким образом, остаток у числа 137 при делении нацело на 3 равен:

$$137\mathrm{mod}3=1$$

Теперь мы знаем, что остаток у числа $3x$ при делении нацело на 3 равен 1.

Вспомним наше уравнение:

$$3x=137-16m-25n-81k$$

Учитывая, что 3 является делителем левой части и что $137-16m-25n-81k$ является целым числом, остаток от деления правой части нацело на 3 также равен 1.

Теперь мы можем продолжить:

$$(137-16m-25n-81k)\mathrm{mod}3=1$$

Заметим, что -16, -25 и -81 эквивалентны остаткам 2, 1 и 0 по модулю 3 соответственно. Значит, это равенство можно записать как:

$$(2+1+0)\mathrm{mod}3=1$$

$$3\mathrm{mod}3=1$$

$$1=1$$

Таким образом, мы доказали, что остаток, полученный числом Ваней при делении нацело задуманного числа, также равен 1.

Итак, ответ на задачу: остаток, полученный задуманным числом Ваней при делении нацело, равен 1.