На каких интервалах функции S(x) является первообразной для функции s(x) = -x^3 + 1 на всем множестве действительных

Чтобы определить на каких интервалах функция \( S(x) \) является первообразной для функции \( s(x) = -x^3 + 1 \) на всем множестве действительных чисел, мы должны найти первообразную \( S(x) \) для функции \( s(x) \).

Поскольку дана функция \( s(x) = -x^3 + 1 \), мы будем интегрировать ее, используя правила интегрирования.

1. Начнем с интегрирования первого слагаемого функции \( s(x) \):
\[ \int -x^3 \, dx \]
Для интегрирования этого слагаемого, мы можем использовать правило степенной функции: если функция имеет вид \( x^n \), то ее первообразная будет иметь вид \( \frac{{x^{n+1}}}{{n+1}} \).
Применяя это правило к нашей функции, получим:
\[ -\frac{{x^4}}{4} \]

2. Интегрируем второе слагаемое функции \( s(x) \):
\[ \int 1 \, dx \]
Для интегрирования константы, мы просто добавляем переменную интегрирования.
Получим:
\[ x \]

Теперь, получив первообразные для каждого слагаемого, мы можем записать итоговую первообразную \( S(x) \):
\[ S(x) = -\frac{{x^4}}{4} + x + C \]
где \( C \) - это константа интегрирования.

Обратите внимание, что мы добавили константу интегрирования \( C \), так как при интегрировании происходит потеря информации о конкретной точке на графике. Константа \( C \) позволяет учесть эту потерю информации и предоставляет все возможные решения для первообразной.

Теперь, чтобы найти интервалы, на которых функция \( S(x) \) является первообразной для функции \( s(x) \), нам необходимо определить значения константы \( C \).

Поскольку в данном случае \( S(x) \) является первообразной для \( s(x) \) на всем множестве действительных чисел, нет ограничений на \( C \). То есть, любая константа \( C \) будет удовлетворять условию.

Итак, интервалы, на которых функция \( S(x) \) является первообразной для функции \( s(x) = -x^3 + 1 \) на всем множестве действительных чисел, не имеют ограничений и представлены как \( (-\infty, +\infty) \).