На изображении M, N, P и Q - середины сторон четырехугольника ABCD. Длина AC равна 10 см, а BD - 18 см. а) Подтвердите

Для начала докажем, что MNPQ является параллелограммом. Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны по длине.

Заметим, что M и N - середины сторон AB и CD соответственно. По свойству серединных перпендикуляров, MN параллельна и равна по длине стороне AD.

Аналогично, P и Q - середины сторон BC и DA соответственно. По свойству серединных перпендикуляров, PQ параллельна и равна по длине стороне BC.

Таким образом, у нас получается, что MN и PQ - параллельные и равные стороны, а значит, MNPQ является параллелограммом.

Теперь определим его периметр. Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме длин его сторон.

У нас есть MNPQ, у которого стороны MN и PQ равны, и составляют AD и BC соответственно. Стороны AD и BC можно найти известными данными.

Длина AC равна 10 см, что означает, что AD и BC также равны 10 см.

Теперь можем найти периметр MNPQ:

Периметр MNPQ = 2(MN + PQ) = 2(AD + BC) = 2(10 + 10) = 40 см

Таким образом, периметр параллелограмма MNPQ равен 40 см.

Перейдем к второй части задачи, где нужно найти площади прямоугольников ABCD и MNPQ, при условии, что угол BOC составляет 60 градусов.

Для начала найдем площадь прямоугольника ABCD. Площадь прямоугольника равна произведению длин его сторон.

У нас известно, что AC равна 10 см, а BD - 18 см.

Таким образом, площадь прямоугольника ABCD равна:

Площадь ABCD = AC * BD = 10 см * 18 см = 180 см²

Теперь перейдем к нахождению площади параллелограмма MNPQ.

Площадь параллелограмма вычисляется как произведение длины одной из его сторон на высоту, проведенную к этой стороне.

У нас уже есть стороны MN и PQ равные 10 см и высота параллелограмма, которая равна длине перпендикуляра, проведенного из вершины Q на сторону MN.

Угол BOC составляет 60 градусов, что означает, что треугольник BOQ является равносторонним.

Таким образом, перпендикуляр, проведенный из вершины Q на сторону MN, является высотой, а также медианой и биссектрисой в равностороннем треугольнике BOQ.

В равностороннем треугольнике высота равна половине стороны, поэтому высота параллелограмма MNPQ (медиана в равностороннем треугольнике BOQ) равна половине стороны BO.

Так как у нас известны длины сторон AC - 10 см и BD - 18 см, то BO можно найти по теореме Пифагора:

\[BO = \sqrt{{BD^2 - AD^2}} = \sqrt{{18^2 - 10^2}} = \sqrt{{324 - 100}} = \sqrt{{224}} \approx 14.97 \text{ см} \]

Высота параллелограмма равна половине стороны BO:

Высота = \(\frac{BO}{2} = \frac{14.97}{2} \approx 7.49 \text{ см}\)

Теперь можем найти площадь параллелограмма MNPQ:

Площадь MNPQ = MN * Высота = 10 см * 7.49 см ≈ 74.9 см²

Таким образом, площадь прямоугольника ABCD равна 180 см², а площадь параллелограмма MNPQ примерно равна 74.9 см² при условии, что угол BOC составляет 60 градусов.