На горизонтальной плоскости, тонкостенный мяч радиуса r=1м катится без проскальзывания со скоростью v. Затем

Хорошо, давайте решим данную задачу.

Для начала, обратимся к закону сохранения механической энергии. В данной задаче, мяч катится без трения и без проскальзывания, поэтому его кинетическая энергия сохраняется.

Находясь на горизонтальной плоскости, у мяча есть только кинетическая энергия движения, которая выражается формулой:
\[E_{\text{кин}} = \frac{1}{2}mv^2,\]
где \(m\) - масса мяча, а \(v\) - его скорость.

Переходя на цилиндрическую поверхность радиуса \(R\), мяч начинает двигаться по окружности, при этом его полная механическая энергия состоит из кинетической энергии и потенциальной энергии, связанной с высотой над поверхностью Земли. Формула для полной энергии:
\[E_{\text{полн}} = E_{\text{кин}} + E_{\text{пот}},\]
где \(E_{\text{пот}} = mgh\) - потенциальная энергия мяча, \(g\) - ускорение свободного падения, \(h\) - высота над поверхностью Земли.

Находясь на цилиндрической поверхности, кинетическая энергия мяча превращается в потенциальную энергию, а именно:
\[E_{\text{кин}} = 0 \quad \text{(на цилиндрической поверхности)}.\]

Таким образом, полная механическая энергия мяча, находясь на цилиндрической поверхности, равна его потенциальной энергии:
\[E_{\text{полн}} = mgh.\]

После перехода на цилиндрическую поверхность, мяч поднимается вертикально вверх. При этом, его кинетическая энергия равна нулю, а энергия полностью превращается в потенциальную:
\[E_{\text{кин}} = 0 \quad \text{(при движении вверх)}.\]

Таким образом, полная энергия мяча, когда он находится на максимальной высоте \(H\) над землей, равна его потенциальной энергии:
\[E_{\text{полн}} = mgh = 0.\]

Теперь, найдём выражение для потенциальной энергии мяча на цилиндрической поверхности. Учитывая, что радиус цилиндрической поверхности равен \(R\) и высота обрыва равна \(h=R\), получаем:
\[E_{\text{полн}} = mgh = mgR.\]

Таким образом, мы получили, что полная энергия мяча на цилиндрической поверхности равна \(E_{\text{полн}} = mgR\).

Теперь, применим закон сохранения энергии. Изначально, когда мяч находился на горизонтальной плоскости, его полная энергия состояла только из кинетической энергии движения и была равна \(E_{\text{полн}} = \frac{1}{2}mv^2\). После перехода мяча на цилиндрическую поверхность, его полная энергия стала равной \(E_{\text{полн}} = mgR\). При этом, из условия задачи известно, что скорость мяча в момент отрыва на цилиндрической поверхности была в \(n=2\) раза меньше, чем изначальная скорость \(v\), то есть \(v" = \frac{v}{n}\).

Следовательно, с использованием закона сохранения энергии, мы можем записать:
\[\frac{1}{2}mv^2 = mgR,\]
\[\frac{1}{2}m\left(\frac{v}{n}\right)^2 = mgR.\]

Решим второе уравнение относительно изначальной скорости мяча \(v\):
\[\frac{1}{2}m\left(\frac{v}{n}\right)^2 = mgR,\]
\[\frac{1}{2}mv^2 = n^2mgR,\]
\[v^2 = 2n^2gR,\]
\[v = \sqrt{2n^2gR}.\]

Теперь, найдём высоту, на которую поднимется нижняя точка мяча, когда он находится на максимальной высоте \(H\) над землей. Эта высота будет равна \(H + R\), так как радиус цилиндрической поверхности \(R\) находится на высоте \(R\) от земли.
\[H + R = \frac{v^2}{2g},\]
\[H = \frac{v^2}{2g} - R.\]

Подставим найденное значение \(v\) и значения \(g\) и \(R\) из условия задачи:
\[H = \frac{(2n^2gR)}{2g} - R,\]
\[H = n^2R - R.\]

Таким образом, максимальная высота \(H\) над землей, на которую поднимется нижняя точка мяча, равна \(H = n^2R - R\).

Подставим \(n=2\) и \(R=5\) в полученную формулу:
\[H = 2^2 \cdot 5 - 5,\]
\[H = 20 - 5,\]
\[H = 15 \, \text{м}.\]

Итак, максимальная высота \(H\) над землей, на которую поднимется нижняя точка мяча, составляет \(H = 15 \, \text{м}\).