На факультете по математике, из 84 студентов, вероятность того, что будет а) от 50 до 70 городских жителей

Для решения задачи по вероятности количества городских жителей среди 84 студентов, можно воспользоваться нормальным распределением. Параметры этого распределения определяются следующим образом: математическое ожидание \(\mu\) и стандартное отклонение \(\sigma\).

а) Для нахождения вероятности того, что число городских жителей будет от 50 до 70, нужно вычислить интеграл нормального распределения на интервале \([50, 70]\) с указанными параметрами \(\mu\) и \(\sigma\).
Поскольку нам не указаны конкретные значения \(\mu\) и \(\sigma\), предположим, что они необходимо найти. Для этого нужно знать долю городских жителей в исследуемой группе студентов.

б) Чтобы найти вероятность появления ровно 55 городских жителей среди 84 студентов, мы можем воспользоваться формулой Бернулли, которая выражается по формуле:
\[P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]
Где \(n\) - общее количество студентов, \(k\) - число городских жителей, \(p\) - вероятность быть городским жителем.

Теперь перейдем к задаче о содержании витаминов в апельсине.
Здесь сказано, что содержание витаминов в апельсине распределено нормально с математическим ожиданием \(0.35\) и дисперсией \(0.16\). Известно, что при нормальном распределении \(0.9545\) - это интервал, охватывающий \(95\%\) случаев.

Для нахождения границ изменения случайной величины среди всех фруктов, поступивших в магазин для продажи с вероятностью \(0.9545\), нам понадобятся параметры нормального распределения - математическое ожидание \(\mu\) и стандартное отклонение \(\sigma\).

Плотность распределения случайной величины \(X\) с показательным законом и дисперсией \(\frac{1}{9}\) определяется следующим образом:
\[f(x) = \frac{1}{\sigma}\exp\left(-\frac{x-\mu}{\sigma}\right)\]
где \(\sigma\) - стандартное отклонение показательного закона, а \(\mu\) - математическое ожидание.

В данном случае не указаны конкретные значения \(\sigma\) и \(\mu\), поэтому мы не можем найти точное значение плотности распределения. Если бы нам были известны эти параметры, мы бы могли их подставить в формулу и найти плотность распределения.