Какие натуральные значения n удовлетворяют условию: десятичная запись дроби 1/n является периодической без предпериода

Для решения данной задачи, нам нужно найти натуральные значения \( n \), при которых десятичная запись дроби \( \frac{1}{n} \) будет периодической без предпериода и иметь минимальный период длиной \( k \).

Для начала, давайте разберемся с тем, что значит "периодическая без предпериода". Это означает, что после запятой в десятичной записи дроби будет повторяться определенная последовательность цифр, но перед ней не будет никакого предпериода.

Если мы возьмем некоторое значение \( n \) и вычислим десятичную запись дроби \( \frac{1}{n} \), то мы заметим, что период дроби будет зависеть от делителей числа \( n \).

Теперь, для того чтобы определить значения \( n \), при которых минимальный период будет длиной \( k \), нужно рассмотреть делители числа \( n \) и проверить, какие из них приводят к такому результату.

Один из способов это сделать - это использовать факт, что периодическая десятичная запись дроби \( \frac{1}{n} \) будет иметь период длиной не более, чем \( n-1 \). Это следует из того, что при делении числа \( 1 \) на \( n \), остатки будут повторяться в пределах чисел от \( 0 \) до \( n-1 \).

Таким образом, нам нужно найти значения \( n \), при которых период десятичной записи дроби \( \frac{1}{n} \) равен \( k \), где \( k \) должно быть максимально возможным по условию задачи.

Теперь рассмотрим примеры для наглядности.

1. Давайте возьмем \( n = 2 \):
Деление \( 1 \) на \( 2 \) дает результат \( 0.5 \). Значит, периода нет, и условия задачи не выполняются.

2. Попробуем \( n = 3 \):
Деление \( 1 \) на \( 3 \) дает результат \( 0.(3) \), где \((3)\) - период. Здесь период равен 1, и он минимальной возможной длины.
Значит, \( n = 3 \) удовлетворяет условию задачи.

3. Продолжим с \( n = 4 \):
Деление \( 1 \) на \( 4 \) дает результат \( 0.25 \). Значит, периода нет, и условия задачи не выполняются.

4. Попробуем \( n = 7 \):
Деление \( 1 \) на \( 7 \) дает результат \( 0.(142857) \), где \((142857)\) - период. Здесь период равен 6, и он минимальной возможной длины.
Значит, \( n = 7 \) удовлетворяет условию задачи.

Таким образом, ответом на задачу будут натуральные значения \( n \), которые удовлетворяют условию, это \( n = 3 \) и \( n = 7 \).