На доске записано 18 уникальных целых чисел. Каждое из них возведено в квадрат или в куб, и его результат заменяет

Давайте рассмотрим задачу пошагово. У нас есть 18 уникальных целых чисел, каждое из которых возводится в квадрат или в куб, и его результат заменяет оригинальное число. Нам нужно найти наименьшее количество различных чисел, которые могут быть записаны на доске.

Для начала, давайте рассмотрим возможные варианты применения операций возведения в квадрат и куб. Нам нужно учесть, что результат должен быть уникальным.

Возведение в квадрат:
1^2 = 1
2^2 = 4
3^2 = 9
4^2 = 16
5^2 = 25
6^2 = 36
7^2 = 49
8^2 = 64
9^2 = 81
10^2 = 100
11^2 = 121
12^2 = 144
13^2 = 169
14^2 = 196
15^2 = 225
16^2 = 256
17^2 = 289
18^2 = 324

Возведение в куб:
1^3 = 1
2^3 = 8
3^3 = 27
4^3 = 64
5^3 = 125
6^3 = 216
7^3 = 343
8^3 = 512
9^3 = 729
10^3 = 1000
11^3 = 1331
12^3 = 1728
13^3 = 2197
14^3 = 2744
15^3 = 3375
16^3 = 4096
17^3 = 4913
18^3 = 5832

Теперь давайте посмотрим, как мы можем составить наименьшее количество различных чисел на доске.

Если мы возведем все числа до 9 в квадрат, мы получим 9 уникальных чисел. Если мы возведем все числа до 6 в куб, мы получим 6 уникальных чисел.

Теперь мы можем записать на доске 9 чисел, возведенных в квадрат, и 6 чисел, возведенных в куб. Это даст нам 9 + 6 = 15 различных чисел.

Однако нам нужно учесть, что некоторые числа ранее уже были получены в результате операций возведения в квадрат или в куб.

Давайте сравним полученные числа с исходными 18 числами:

\[
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324
\]

Мы видим, что все числа до 9 возведены в квадрат, но 16 и 25 не были возведены в куб. Тем самым мы можем добавить эти два числа к результату, и количество различных чисел на доске составит 15 + 2 = 17.

Таким образом, наименьшее количество различных чисел, которое может быть записано на доске, равно 17.

Решим эту задачу пошагово в столбик:

1. Возведем все числа до 9 в квадрат (9 чисел).
2. Возведем все числа до 6 в куб (6 чисел).
3. Добавим числа 16 и 25, которые не были возведены в куб.

Количество различных чисел на доске равно 17.

Ответ: 17.