На билете есть две задачи. Вероятность правильного решения первой задачи составляет 0.9, а второй задачи

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Обозначим случайную величину \(X\) как количество правильно решенных задач на билете.

Для каждой задачи есть два возможных исхода: она может быть решена правильно или неправильно. Вероятность правильного решения первой задачи составляет 0.9, а вероятность правильного решения второй задачи - 0.8.

Закон распределения случайной величины \(X\) - это вероятность каждого возможного значения \(X\). Давайте определим этот закон.

Мы можем решить 0, 1 или 2 задачи правильно. Давайте посчитаем вероятность каждого из этих случаев:

1. Решена 0 задач:
Вероятность того, что первая задача нерешена, составляет \(1 - 0.9 = 0.1\).
Вероятность того, что вторая задача нерешена, составляет \(1 - 0.8 = 0.2\).
Вероятность, что обе задачи не решены, равна произведению этих вероятностей: \(0.1 \times 0.2 = 0.02\).

2. Решена 1 задача:
Есть два случая:
- Первая задача решена правильно, но вторая задача нерешена
Вероятность этого случая равна \(0.9 \times 0.2 = 0.18\).
- Первая задача нерешена, но вторая задача решена правильно
Вероятность этого случая равна \(0.1 \times 0.8 = 0.08\).
Общая вероятность решения 1 задачи: \(0.18 + 0.08 = 0.26\).

3. Решены обе задачи:
Вероятность решения обеих задач равна произведению вероятностей их правильного решения: \(0.9 \times 0.8 = 0.72\).

Теперь у нас есть закон распределения:

\[
\begin{align*}
P(X = 0) &= 0.02 \\
P(X = 1) &= 0.26 \\
P(X = 2) &= 0.72 \\
\end{align*}
\]

Математическое ожидание случайной величины \(X\) - это среднее значение, которое она принимает. Мы можем вычислить это, умножив каждое возможное значение на его вероятность и сложив результаты:

\[
E(X) = 0 \times 0.02 + 1 \times 0.26 + 2 \times 0.72 = 1.7
\]

Дисперсия случайной величины \(X\) - это мера разброса значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Мы можем вычислить это, используя формулу:

\[
Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2
\]

Давайте найдем каждую часть этой формулы:

\[
\begin{align*}
E(X^2) &= 0^2 \times 0.02 + 1^2 \times 0.26 + 2^2 \times 0.72 = 3.02 \\
(E(X))^2 &= 1.7^2 = 2.89 \\
Var(X) &= E(X^2) - (E(X))^2 = 3.02 - 2.89 = 0.13
\end{align*}
\]

Итак, закон распределения \(X\) - это:
\(P(X = 0) = 0.02\),
\(P(X = 1) = 0.26\),
\(P(X = 2) = 0.72\).

Математическое ожидание \(E(X) = 1.7\) и дисперсия \(Var(X) = 0.13\) случайной величины \(X\).