На 16.02 (Вт) проводились эксперименты по теории вероятностей и статистике, в которых Марфа Васильевна купила новую

Для решения данной задачи воспользуемся формулой для расчета вероятности события:

\[P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(S)}}\]

где \(P(A)\) - вероятность наступления события \(A\), \(n(A)\) - число исходов, благоприятствующих событию \(A\), \(n(S)\) - общее число исходов.

а) Для расчета вероятности того, что только первая вкрученная лампочка окажется бракованной, мы можем представить данное событие как последовательность двух событий:
1) Первая лампочка бракованная, а остальные лампочки - небракованные.
2) Порядок первой бракованной лампочки и двух небракованных лампочек не важен.

Вероятность первого события можно рассчитать как произведение вероятности первой лампочки быть бракованной и вероятности остальных лампочек быть небракованными. Так как вероятность покупки бракованной лампочки составляет 5%, то вероятность покупки небракованных лампочек составит 100% - 5% = 95%. Так как при нахождении вероятности двух независимых событий их вероятности умножаются, то:

\[P(\text{{первая лампочка бракованная, остальные небракованные}}) = 0.05 \cdot 0.95 \cdot 0.95\]

Для второго события мы можем использовать числовой коэффициент сочетаний:

\[C_n^k = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]

где \(C_n^k\) - комбинация из \(n\) элементов, выбранных по \(k\) элементов из \(n\), \(n!\) - факториал числа \(n\), \(k!\) - факториал числа \(k\), \((n-k)!\) - факториал числа \(n-k\).

Вероятность второго события можно рассчитать, используя формулу сочетаний и произведение вероятностей:

\[P(\text{{ровно две из трех лампочек бракованные}}) = C_3^2 \cdot 0.05 \cdot 0.05 \cdot 0.95\]

б) Поскольку в данном случае ровно две из трех лампочек должны быть бракованными, мы также можем использовать числовой коэффициент сочетаний для определения числа благоприятных исходов. Таким образом, вероятность события "ровно две из трех лампочек окажутся бракованными" будет равна:

\[P(\text{{ровно две из трех лампочек бракованные}}) = C_3^2 \cdot 0.05^2 \cdot 0.95\]

Далее нужно провести расчеты для конкретных численных значений.