Можно ли всегда разрезать оставшуюся часть квадрата 4 на 4, после вырезания произвольной угловой клетки, на уголочки

Данная задача относится к области математики, а именно к теории графов. Чтобы понять, можно ли всегда разрезать оставшуюся часть квадрата 4 на 4 на уголочки по 3 клеточки, нам нужно рассмотреть различные конфигурации возможного разрезания и выяснить, будет ли существовать такая конфигурация для любого выбранного угла клетки.

Давайте начнем с исходного квадрата 4 на 4:

\[ \begin{matrix}
1 & 2 & 3 & 4 \\
5 & 6 & 7 & 8 \\
9 & 10 & 11 & 12 \\
13 & 14 & 15 & 16 \\
\end{matrix} \]

Если мы вырежем угловую клетку с номером 16, то получим следующую конфигурацию:

\[ \begin{matrix}
1 & 2 & 3 \\
5 & 6 & 7 \\
9 & 10 & 11 \\
\end{matrix} \]

\[ \begin{matrix}
4 & 8 & 12 \\
13 & 15 & \color{red}{\text{?}} \\
14 & \color{red}{\text{?}} & \color{red}{\text{?}} \\
\end{matrix} \]

Как видно из этой конфигурации, нам не хватает клеток для формирования уголка размером в 3 клетки. Всего у нас есть 4 клетки с вопросительными знаками, и нам нужно создать 9 клеток, чтобы сформировать уголок. Таким образом, эта конфигурация не подходит.

Попробуем другой вариант, вырезав уголок с номером 15:

\[ \begin{matrix}
1 & 2 & 3 \\
5 & 6 & 7 \\
9 & 10 & \color{red}{\text{?}} \\
\end{matrix} \]

\[ \begin{matrix}
4 & 8 & 12 \\
13 & 16 & \color{red}{\text{?}} \\
14 & \color{red}{\text{?}} & \color{red}{\text{?}} \\
\end{matrix} \]

И в этом случае мы не сможем сформировать уголок размером в 3 клетки. Получается, что не для каждого выбранного угла клетки мы сможем разрезать оставшуюся часть квадрата на уголочки по 3 клеточки.

Теперь рассмотрим случай, когда исходный квадрат имеет размерность \(2^n \times 2^n\), где \(n\) - натуральное число. Для этого случая будем использовать индукцию.

Базовый случай: \(n = 1\)
В этом случае имеем квадрат размером 2x2:

\[ \begin{matrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
\end{matrix} \]

Мы можем вырезать любую угловую клетку, например, клетку 4:

\[ \begin{matrix}
1 & 2 \\
3 & \color{red}{\text{?}} \\
\end{matrix} \]

\[ \begin{matrix}
\color{red}{\text{?}} & \color{red}{\text{?}} \\
\color{red}{\text{?}} & \color{red}{\text{?}} \\
\end{matrix} \]

И мы сможем сформировать уголок размером 3 клетки.

Переход: предположим, что для \(n = k\) выполняется утверждение. Докажем для \(n = k + 1\).
Разделим квадрат \(2^{k+1} \times 2^{k+1}\) на четыре квадрата \(2^k \times 2^k\):

\[ \begin{matrix}
A & B \\
C & D \\
\end{matrix} \]

Мы можем выбрать любую угловую клетку любого из этих квадратов и вырезать ее. По предположению индукции, в каждом из четырех квадратов мы сможем сформировать уголок размером 3 клетки. Обозначим эти уголки как A", B", C" и D". Тогда мы можем объединить эти уголки и получить уголок размером 2^k+1 x 2^k+1:

\[ \begin{matrix}
A" & B" \\
C" & D" \\
\end{matrix} \]

Таким образом, доказано, что для квадрата размерностью \(2^n \times 2^n\) всегда можно разрезать его оставшуюся часть на уголочки по 3 клеточки.

В итоге, ответ на задачу:

Для квадрата 4 на 4 нельзя всегда разрезать оставшуюся часть на уголочки по 3 клеточки после вырезания произвольной угловой клетки.

Однако, для квадрата \(2^n \times 2^n\) всегда можно разрезать оставшуюся часть на уголочки по 3 клеточки после вырезания произвольной угловой клетки.