Можно ли утверждать, что векторы е1(-1; 2), е2(2; 1) и а(0; -2) являются базисом в множестве всех векторов

Да, конечно, я могу помочь! Чтобы проверить, являются ли векторы \( \mathbf{e}_1(-1, 2) \), \( \mathbf{e}_2(2, 1) \) и \( \mathbf{a}(0, -2) \) базисом в множестве всех векторов на плоскости, нам нужно выполнить два условия: эти векторы должны быть линейно независимыми и образовывать полную систему.

Давайте проверим линейную независимость этих векторов. Линейная независимость означает, что никакая из этих векторов не может быть выражена как линейная комбинация других векторов.

Чтобы проверить это, рассмотрим уравнение:
\( a \mathbf{e}_1 + b \mathbf{e}_2 + c \mathbf{a} = \mathbf{0} \),
где \( a \), \( b \) и \( c \) - произвольные числа, а \( \mathbf{0} \) - нулевой вектор.

Раскроем это уравнение:
\( -a + 2b + 0c = 0 \) (для координат \( x \)),
\( 2a + b - 2c = 0 \) (для координат \( y \)).

Теперь мы должны решить это систему уравнений, чтобы найти значения \( a \), \( b \) и \( c \), которые удовлетворяют условию. Для этого можно воспользоваться методом Гаусса или другими методами. Но здесь мы видим, что уравнения могут быть упрощены:

\( \begin{cases} -a + 2b = 0 \\ 2a + b - 2c = 0 \end{cases} \).

Если мы сложим первое уравнение к второму, получим:
\( 3a - 2c = 0 \) (для координат \( y \)).

Это позволяет нам выразить \( a \) через \( c \):
\( a = \frac{2}{3}c \).

Теперь, если мы заменим \( a \) в первом уравнении, получим:
\( -\frac{2}{3}c + 2b = 0 \) (для координат \( x \)).

Выразим \( b \) через \( c \):
\( b = \frac{1}{3}c \).

Исходя из полученных выражений, векторы \( \mathbf{e}_1(-1, 2) \), \( \mathbf{e}_2(2, 1) \) и \( \mathbf{a}(0, -2) \) являются линейно зависимыми, так как можно получить один вектор из линейной комбинации других векторов, что противоречит условию базисности.

Теперь рассмотрим разложение вектора \( \mathbf{a} \) по данному базису. Мы можем выразить вектор \( \mathbf{a} \) как линейную комбинацию базисных векторов с коэффициентами \( \alpha_1 \) и \( \alpha_2 \):
\( \mathbf{a} = \alpha_1 \mathbf{e}_1 + \alpha_2 \mathbf{e}_2 \).

Подставим значения базисных векторов:
\( \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} = \alpha_1 \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} + \alpha_2 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \).

Теперь мы можем решить эту систему уравнений для \( \alpha_1 \) и \( \alpha_2 \). Выполнив вычисления, мы получим:
\( \alpha_1 = -\frac{2}{5} \) и \( \alpha_2 = -\frac{2}{5} \).

Итак, разложение вектора \( \mathbf{a} \) по данному базису получается:
\( \mathbf{a} = -\frac{2}{5} \mathbf{e}_1 - \frac{2}{5} \mathbf{e}_2 \).

Надеюсь, это подробное объяснение помогло вам понять задачу! Если у вас есть ещё вопросы, не стесняйтесь задавать.