Можно ли утверждать, что многочлен x^3-x-7 не является делителем многочлена?

Для того чтобы определить, является ли многочлен $x^3-x-7$ делителем другого многочлена, мы можем воспользоваться теоремой о делении многочленов.

Теорема о делении многочленов гласит, что если у нас есть два многочлена $A(x)$ и $B(x)$, и степень $B(x)$ больше либо равна степени $A(x)$, то существуют такие многочлены $Q(x)$ и $R(x)$, что $A(x)=B(x)\cdot Q(x)+R(x)$, где многочлен $R(x)$ имеет степень меньше степени $B(x)$.

В нашем случае у нас есть многочлены $A(x)=x^3-x-7$ и $B(x)$, и мы хотим проверить, можно ли представить $A(x)$ в виде $B(x)\cdot Q(x)+R(x)$, где $Q(x)$ и $R(x)$ являются многочленами.

Если мы предположим, что многочлен $x^3-x-7$ является делителем другого многочлена, то это означает, что есть такой многочлен $Q(x)$, что выполняется равенство:

$$x^3-x-7=B(x)\cdot Q(x)$$

Однако, нам нужно учитывать то, что многочлен $x^3-x-7$ имеет степень 3, тогда как $B(x)$ может иметь меньшую степень или равную ему. То есть многочлен $B(x)$ может иметь степень от 0 до 3.

Теперь давайте рассмотрим степень $B(x)$:

- Если степень $B(x)$ равна 0, то многочлен $B(x)$ представляет собой константу. В таком случае, мы можем записать $B(x)$ как $B(x)=c$, где $c$ - это некоторая константа. Но нам известно, что многочлен $x^3-x-7$ не равен константе, он имеет степень 3, поэтому многочлен $x^3-x-7$ не делится на многочлен степени 0.

- Если степень $B(x)$ равна 1, то многочлен $B(x)$ имеет вид $B(x)=mx+b$, где $m$ и $b$ - это некоторые числа. Если мы предположим, что $x^3-x-7$ делится на $B(x)=mx+b$, то у нас должно существовать такой многочлен $Q(x)$, что:

$$x^3-x-7=(mx+b)\cdot Q(x)$$

Однако, если мы разложим многочлен $x^3-x-7$ на множители, мы увидим, что он не разлагается на линейные множители. Поэтому, многочлен $x^3-x-7$ не делится на многочлен степени 1.

- Если степень $B(x)$ равна 2 или 3, то аналогичные рассуждения показывают, что многочлен $x^3-x-7$ все равно не делится на многочлены этих степеней.

Итак, по всему сказанному, мы можем заключить, что многочлен $x^3-x-7$ не является делителем другого многочлена.