Можно ли утверждать, что для нечетной функции f справедливо равенство f(1) + f(-1) = 1 и f(2) * f(-2)

Чтобы ответить на этот вопрос, давайте сначала разберемся с понятием нечетной функции. Нечетной называется функция, для которой выполняется свойство \( f(-x) = -f(x) \) для любого \( x \) из области определения функции.

Итак, у нас есть функция \( f \), которая является нечетной. Проверим выполнение данных равенств:

1. Равенство \( f(1) + f(-1) = 1 \):
Для проверки этого равенства мы должны вычислить значение \( f(1) \) и \( f(-1) \), а затем сложить их вместе и убедиться, что полученная сумма равна 1.

2. Равенство \( f(2) \cdot f(-2) = 3 \):
Для проверки этого равенства мы должны вычислить значение \( f(2) \) и \( f(-2) \), затем умножить их друг на друга и убедиться, что полученное произведение равно 3.

3. Равенство \( \frac{{f(-2)}}{{f(2)}} = 0 \):
Для проверки этого равенства мы должны вычислить значение \( f(-2) \) и \( f(2) \), а затем разделить \( f(-2) \) на \( f(2) \) и убедиться, что полученное отношение равно 0.

Итак, давайте приступим к расчетам:

1. Подставим \( x = 1 \) и \( x = -1 \) в функцию \( f \) и вычислим значения:
\[ f(1) + f(-1) = f(1) - f(1) = 0 \]

Получили, что значение равенства \( f(1) + f(-1) = 1 \) не выполняется, так как 0 не равно 1.

2. Подставим \( x = 2 \) и \( x = -2 \) в функцию \( f \) и вычислим значения:
\[ f(2) \cdot f(-2) = -f(2) \cdot -f(2) = f(2) \cdot f(2) = (f(2))^2 \]

Сообщение говорит, что \( f(2) \cdot f(-2) = 3 \), поэтому имеем:
\[ (f(2))^2 = 3 \]
\[ f(2) = \sqrt{3} \]

Получили, что \( f(2) \) равно корню квадратному из 3, а не 3. Таким образом, равенство \( f(2) \cdot f(-2) = 3 \) также не выполняется.

3. Подставим \( x = 2 \) и \( x = -2 \) в функцию \( f \) и вычислим значения:
\[ \frac{{f(-2)}}{{f(2)}} = \frac{{-f(2)}}{{f(2)}} = -1 \]

Получили, что значение равенства \( \frac{{f(-2)}}{{f(2)}} = 0 \) не выполняется, так как -1 не равно 0.

Итак, ответ на задачу: для данной нечетной функции \( f \) равенства \( f(1) + f(-1) = 1 \), \( f(2) \cdot f(-2) = 3 \) и \( \frac{{f(-2)}}{{f(2)}} = 0 \) не выполняются.