Можно ли считать эквивалентными следующие уравнения: 5х² + 4х – 1 = 0 и х(2х +11)

Конечно! Давайте рассмотрим оба уравнения и выясним, можно ли считать их эквивалентными.

Уравнение 1: $5x^2+4x-1=0$

Уравнение 2: $x(2x+11)$

Чтобы проверить эквивалентность двух уравнений, необходимо убедиться, что они дают одни и те же значения переменной $x$, которые удовлетворяют данным уравнениям.

Для начала, решим первое уравнение. Воспользуемся формулой дискриминанта, чтобы найти корни квадратного уравнения. Формула дискриминанта выглядит следующим образом:

$$D=b^2-4ac$$

где $a$, $b$ и $c$ - коэффициенты квадратного уравнения.

В уравнении 1, $a=5$, $b=4$ и $c=-1$. Подставим значения в формулу дискриминанта:

$$D=4^2-4\cdot 5\cdot (-1)$$
$$D=16+20$$
$$D=36$$

Теперь, найдем корни уравнения с использованием формулы:

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставим значения:

$$x=\frac{-4\pm \sqrt{36}}{2\cdot 5}$$
$$x=\frac{-4\pm \sqrt{6^2}}{2\cdot 5}$$
$$x=\frac{-4\pm 6}{10}$$

Таким образом, получаем два значения переменной $x$:

$$x_1=\frac{-4+6}{10}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$$
$$x_2=\frac{-4-6}{10}=\frac{-10}{10}=-1$$

Теперь рассмотрим второе уравнение:

$$x(2x+11)$$

Для того чтобы проверить, совпадают ли корни с решениями первого уравнения, сначала разложим его на множители:

$$x(2x+11)=0$$

Теперь, по свойству "Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю", можем предположить два возможных варианта:

1. x = 0
2. 2x + 11 = 0

Рассмотрим первый вариант:

$$x=0$$

Это означает, что переменная x равна нулю. Подставим это значение в первое уравнение, чтобы проверить его:

$$5(0{)}^2+4(0)-1=0-0-1=-1$$

Очевидно, что -1 не равно 0, поэтому x = 0 не является решением первого уравнения.

Рассмотрим второй вариант:

$$2x+11=0$$

Для нахождения значения переменной $x$, выразим $x$:

$$2x=-11$$
$$x=\frac{-11}{2}$$

Теперь проверим это значение, подставив его в первое уравнение:

$$5{\left(\frac{-11}{2}\right)}^2+4\left(\frac{-11}{2}\right)-1=0$$

Выполним вычисления:

$$5\left(\frac{121}{4}\right)-22-1=0$$
$$\frac{605}{4}-22-1=0$$
$$\frac{605}{4}-\frac{88}{4}-\frac{4}{4}=0$$
$$\frac{605}{4}-\frac{88}{4}-\frac{4}{4}=0$$

Таким образом, видим что левая и правая части уравнения равны нулю, что означает, что значение $x=-\frac{11}{2}$ является решением первого уравнения.

Итак, мы видим, что первое уравнение $5x^2+4x-1=0$ имеет два различных корня: $x_1=\frac{1}{5}$ и $x_2=-1$.

С другой стороны, второе уравнение $x(2x+11)$ имеет только одно решение: $x=-\frac{11}{2}$.

Из анализа видно, что первое и второе уравнение не эквивалентны, так как они имеют разные корни. Таким образом, нельзя считать уравнения эквивалентными.