Можно ли считать эквивалентными следующие уравнения: 5х² + 4х – 1 = 0 и х(2х +11)

Конечно! Давайте рассмотрим оба уравнения и выясним, можно ли считать их эквивалентными.

Уравнение 1: \(5x^2 + 4x - 1 = 0\)

Уравнение 2: \(x(2x + 11)\)

Чтобы проверить эквивалентность двух уравнений, необходимо убедиться, что они дают одни и те же значения переменной \(x\), которые удовлетворяют данным уравнениям.

Для начала, решим первое уравнение. Воспользуемся формулой дискриминанта, чтобы найти корни квадратного уравнения. Формула дискриминанта выглядит следующим образом:

\[D = b^2 - 4ac\]

где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты квадратного уравнения.

В уравнении 1, \(a = 5\), \(b = 4\) и \(c = -1\). Подставим значения в формулу дискриминанта:

\[D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1)\]
\[D = 16 + 20\]
\[D = 36\]

Теперь, найдем корни уравнения с использованием формулы:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим значения:

\[x = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 5}\]
\[x = \frac{-4 \pm \sqrt{6^2}}{2 \cdot 5}\]
\[x = \frac{-4 \pm 6}{10}\]

Таким образом, получаем два значения переменной \(x\):

\[x_1 = \frac{-4 + 6}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}\]
\[x_2 = \frac{-4 - 6}{10} = \frac{-10}{10} = -1\]

Теперь рассмотрим второе уравнение:

\[x(2x + 11)\]

Для того чтобы проверить, совпадают ли корни с решениями первого уравнения, сначала разложим его на множители:

\[x(2x + 11) = 0\]

Теперь, по свойству "Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю", можем предположить два возможных варианта:

1. x = 0
2. 2x + 11 = 0

Рассмотрим первый вариант:

\[x = 0\]

Это означает, что переменная x равна нулю. Подставим это значение в первое уравнение, чтобы проверить его:

\[5(0)^2 + 4(0) - 1 = 0 - 0 - 1 = -1\]

Очевидно, что -1 не равно 0, поэтому x = 0 не является решением первого уравнения.

Рассмотрим второй вариант:

\[2x + 11 = 0\]

Для нахождения значения переменной \(x\), выразим \(x\):

\[2x = -11\]
\[x = \frac{-11}{2}\]

Теперь проверим это значение, подставив его в первое уравнение:

\[5 \left( \frac{-11}{2} \right)^2 + 4 \left( \frac{-11}{2} \right) - 1 = 0\]

Выполним вычисления:

\[5 \left( \frac{121}{4} \right) - 22 - 1 = 0\]
\[\frac{605}{4} - 22 - 1 = 0\]
\[\frac{605}{4} - \frac{88}{4} - \frac{4}{4} = 0\]
\[\frac{605}{4} - \frac{88}{4} - \frac{4}{4} = 0\]

Таким образом, видим что левая и правая части уравнения равны нулю, что означает, что значение \(x = -\frac{11}{2}\) является решением первого уравнения.

Итак, мы видим, что первое уравнение \(5x^2 + 4x - 1 = 0\) имеет два различных корня: \(x_1 = \frac{1}{5}\) и \(x_2 = -1\).

С другой стороны, второе уравнение \(x(2x + 11)\) имеет только одно решение: \(x = -\frac{11}{2}\).

Из анализа видно, что первое и второе уравнение не эквивалентны, так как они имеют разные корни. Таким образом, нельзя считать уравнения эквивалентными.