Можно ли переставить 7 натуральных чисел в круговом порядке таким образом, чтобы сумма любых трех последовательных

Давайте решим данную задачу.

Пусть у нас есть 7 натуральных чисел, обозначим их как \(a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6\) и \(a_7\). Мы должны переставить эти числа таким образом, чтобы сумма любых трех последовательных чисел равнялась трехзначному числу \(N\).

Допустим, сначала мы размещаем число \(a_1\) в начале цикла, а числа \(a_2\) и \(a_3\) выбираем таким образом, чтобы их сумма была равна \(N\). Мы также можем использовать обратные числа (-1 в отношении каждого числа) для создания простой ситуации, где их сумма станет нулем. Таким образом, возможны следующие комбинации для суммы трех чисел:

1. \(a_1 + a_2 + a_3 = N\)
2. \(-a_1 + (-a_2) + (-a_3) = 0\)

Переставим числа, и рассмотрим комбинации для второй тройки чисел:

3. \(a_3 + a_4 + a_5 = N\)
4. \(-a_3 + (-a_4) + (-a_5) = 0\)

Аналогично, для третьей тройки чисел:

5. \(a_5 + a_6 + a_7 = N\)
6. \(-a_5 + (-a_6) + (-a_7) = 0\)

Получается, что у нас есть шесть уравнений для наших семи чисел. Мы можем приступить к их решению:

1. \(a_1 + a_2 + a_3 = N\)
2. \(-a_1 + (-a_2) + (-a_3) = 0\)
3. \(a_3 + a_4 + a_5 = N\)
4. \(-a_3 + (-a_4) + (-a_5) = 0\)
5. \(a_5 + a_6 + a_7 = N\)
6. \(-a_5 + (-a_6) + (-a_7) = 0\)

Суммируя все шесть уравнений, мы получим:

\[
\begin{align*}
2(a_1 + a_3 + a_5) + (a_2 + a_4 + a_6 + a_7) = 3N
\end{align*}
\]

Вспомним, что все числа являются натуральными числами. Таким образом, максимальное значение для каждого из чисел \(a_i\) равно 9. Рассмотрим максимальные значения для удобства:

\[
\begin{align*}
2(9 + 9 + 9) + (9 + 9 + 9 + 9) = 90
\end{align*}
\]

Теперь рассмотрим минимальное значение для каждого из чисел \(a_i\), равное 1:

\[
\begin{align*}
2(1 + 1 + 1) + (1 + 1 + 1 + 1) = 12
\end{align*}
\]

Итак, у нас есть две суммы: наибольшая равна 90, наименьшая равна 12.

Ответ: сумма наибольшего и наименьшего из найденных значений N равна 90 + 12 = 102.