Можете ли вы подтвердить следующее: 1) Остаток от деления 3^16+9^6 на 41 является нулевым? 2) Делится ли 72^2+6^5

Конечно, я могу помочь решить эти задачи. Давайте рассмотрим каждую из них по очереди.

1) Чтобы узнать, является ли остаток от деления числа \(3^{16} + 9^6\) на 41 нулевым, мы можем воспользоваться малой теоремой Ферма. Эта теорема утверждает, что если \(p\) - простое число, а \(a\) не делится на \(p\), то \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod p\).

В данной задаче \(p = 41\) - простое число. Проверим, делится ли \(3\) на \(41\). Нет, \(3\) не делится на 41, значит, он не равен нулю (остатку от деления на 41).

Теперь используем малую теорему Ферма для \(a = 3\) и \(p = 41\):

\[3^{41-1} \equiv 1 \pmod {41}\]

Упрощаем:

\[3^{40} \equiv 1 \pmod {41}\]

Мы знаем, что \(3^{40}\) - 1 кратно 41, следовательно, \(3^{16}\) и \(9^6\) также кратны 41.

Таким образом, сумма \(3^{16} + 9^6\) делится на 41, и остаток от деления является нулевым.

2) Давайте проверим, делится ли \(72^2 + 6^5\) на 30.

Вычислим значение этой суммы:

\(72^2 = 5184\) и \(6^5 = 7776\).

Теперь сложим:

\(5184 + 7776 = 12960\).

Убедимся, делится ли 12960 на 30. Для этого проверим, делится ли он на 2 и на 3 и на 5.

Делится ли 12960 на 2? Да, потому что оно четное.

Делится ли 12960 на 3? Да, потому что сумма его цифр \(1+2+9+6+0 = 18\) делится на 3.

Делится ли 12960 на 5? Да, потому что оно заканчивается на ноль.

Значит, число 12960 делится на 2, 3 и 5, а значит, оно делится на 30.

3) Нам нужно определить, можно ли разделить \(546772^2 + 11112^2\) на 12.

Выполним вычисления:

\(546772^2 = 299526709584\)

\(11112^2 = 123654144\)

Тогда исходная сумма равна: \(299526709584 + 123654144 = 299650363728\).

Теперь проверим, делится ли 299650363728 на 12. Чтобы это узнать, нужно проверить, делится ли оно на 2 и на 3.

Делится ли 299650363728 на 2? Да, потому что оно четное.

Делится ли 299650363728 на 3? Да, потому что сумма его цифр \(2+9+9+6+5+0+3+6+3+7+2+8 = 60\) делится на 3.

Таким образом, число 299650363728 делится на 2 и на 3, а значит, оно делится на 12.

4) Нам нужно определить, делится ли \(772^3 + 228^3\) на \(10^3\).

Выполним вычисления:

\(772^3 = 458647168\)

\(228^3 = 118591232\)

Теперь сложим:

\(458647168 + 118591232 = 577238400\).

Проверим, делится ли 577238400 на \(10^3 = 1000\).

Делится ли 577238400 на 1000? Для этого проверим, делится ли оно на 2 и на 5.

Делится ли 577238400 на 2? Да, потому что оно четное.

Делится ли 577238400 на 5? Да, потому что оно заканчивается на 0.

Таким образом, число 577238400 делится на 2 и на 5, а значит, оно делится на 1000.

Все четыре утверждения подтверждены: 1) остаток от деления \(3^{16}+9^6\) на 41 равен нулю; 2) число \(72^2+6^5\) делится на 30; 3) число \(546772^2+11112^2\) делится на 12; 4) число \(772^3+228^3\) делится на \(10^3\). Если у вас возникнут еще вопросы по этим задачам, пожалуйста, обратитесь за дополнительной помощью.