Может ли три кузнечика, играющие на прямой в чехарду и каждый раз перепрыгивающие друг друга, оказаться на своих

Да, мы можем решить данную задачу с использованием теории графов. Представим каждого кузнечика в виде вершины графа, а каждую пару кузнечиков, между которыми они могут перепрыгнуть, в виде ребра. В данном случае, у нас будет три вершины (кузнечика) и три ребра, соединяющие их.

Теперь рассмотрим возможные состояния графа после некоторого количества прыжков. В начальный момент времени у нас будут три кузнечика на своих исходных позициях, так что мы можем представить это состояние графа как вершину A.

После первого прыжка каждый кузнечик может оказаться на одной из двух других позиций, так что состояние графа после первого прыжка будет представлено вершинами B, C и D. Затем, после второго прыжка, каждый кузнечик может снова оказаться на своей исходной позиции или одной из двух других, так что состояние графа после второго прыжка будет представлено вершинами E, F, G, H и I. И так далее, мы будем иметь все новые вершины на каждом прыжке.

Таким образом, мы можем продолжать продвигаться вперед нашими прыжками и строить все новые состояния графа. Обратите внимание, что наши вершины образуют цикл, так как каждый кузнечик может в конечном итоге вернуться на свою исходную позицию через прыжки через других кузнечиков.

Теперь давайте посчитаем количество возможных вершин графа после 2019 прыжков. Поскольку каждый кузнечик имеет три возможных позиции после каждого прыжка, у нас будет \(3^{2019}\) возможных состояний графа.

Таким образом, ответ на ваш вопрос - да, три кузнечика могут оказаться на своих исходных позициях после 2019 прыжков. Мы можем представить это в виде цикла в графе, где каждый кузнечик вернется на свою исходную позицию после определенного количества прыжков.