Может ли третья вершина треугольника иметь следующие координаты: 1) (7; 2); 2) (2; -3)?

Конечно, могу помочь! Давайте посмотрим на каждый из вариантов по отдельности:

1) Координаты первой вершины треугольника: (7; 2).

Допустим, что координаты третьей вершины треугольника равны (x; y). Чтобы треугольник с такими вершинами существовал, нам нужно убедиться, что третья вершина не лежит на продолжении прямой, проходящей через первые две вершины. Для этого мы можем использовать уравнение прямой.

Уравнение прямой, проходящей через две точки (x₁, y₁) и (x₂, y₂), можно записать в виде:

\(\dfrac{{y - y₁}}{{x - x₁}} = \dfrac{{y₂ - y₁}}{{x₂ - x₁}}\)

В нашем случае первые две точки имеют координаты (7, 2) и (x, y). Подставим эти значения в уравнение прямой:

\(\dfrac{{y - 2}}{{x - 7}} = \dfrac{{y₂ - y₁}}{{x₂ - x₁}}\)

Мы знаем, что одна из вершин треугольника является началом отрезка координатной прямой (отсутствие угла), а значит существует "легчайщый" случай, когда угол прямоугольный и у нас нет проблем с числами после запятой:

\(\dfrac{{y - 2}}{{x - 7}} = 2\)

решим это уравнение:

\(2(x - 7) = y - 2\)

\(2x - 14 = y - 2\)

\(y = 2x - 12\)

Таким образом, возможные координаты третьей вершины треугольника, если первая вершина имеет координаты (7, 2), будут задаваться уравнением \(y = 2x - 12\).

2) Координаты второй вершины треугольника: (2, -3).

Проделаем те же шаги по аналогии с предыдущим случаем:

\(\dfrac{{y - (-3)}}{{x - 2}} = \dfrac{{2 - (-3)}}{{7 - 2}}\)

Сокращаем:

\(\dfrac{{y + 3}}{{x - 2}} = \dfrac{5}{5}\)

Упрощаем первую часть:

\(y + 3 = \dfrac{5}{x - 2}\)

Умножаем обе части на \((x - 2)\):

\(y(x - 2) + 3(x - 2) = 5\)

Раскрываем скобки:

\(xy - 2y + 3x - 6 = 5\)

Приравниваем к нулю:

\(xy + 3x - 2y - 11 = 0\)

Таким образом, возможные координаты третьей вершины треугольника, если вторая вершина имеет координаты (2, -3), будут задаваться уравнением \(xy + 3x - 2y - 11 = 0\).

Теперь вы можете использовать эти уравнения для определения точек, которые могут быть третьей вершиной треугольника. Они описывают возможные комбинации координат (x, y), которые образуют треугольник с заданными вершинами.