Может ли преподаватель распределить 165 оценок таким образом, чтобы количество троек было вдвое больше количества

Для решения этой задачи нам понадобится использовать систему уравнений. Пусть x обозначает количество пятёрок, y - количество четверок, z - количество троек, а w - количество двоек.

Исходя из условия задачи, у нас есть следующая информация:
1) Количество троек должно быть вдвое больше количества двоек: z = 2w
2) Количество четверок должно быть в 3 раза больше количества троек: y = 3z
3) Количество пятёрок должно быть вдвое больше количества четверок: x = 2y

Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения x, y, z и w.

Сначала подставим выражение (2) в выражение (3):
x = 2(3z)
x = 6z

Затем подставим полученное выражение в выражение (1):
6z = 2w
3z = w

Таким образом, мы получили, что w = 3z. Это означает, что количество двоек (w) также равно 3 раза количеству троек (z).

Теперь можем определить значение троек (z). Для этого подставим x = 6z в выражение (3):
6z = 2y
3z = y

Значит, количество четверок (y) также равно 3 раза количеству троек (z).

Таким образом, у нас есть следующие соотношения:
x = 6z
y = 3z
w = 3z

Теперь найдем общую сумму оценок, используя данные из задачи:
x + y + z + w = 165

Подставим ранее полученные выражения:
6z + 3z + z + 3z = 165

Суммируя коэффициенты при z, получим:
13z = 165

Разделим обе части уравнения на 13, чтобы найти значение z:
z = 165 / 13
z = 12

Теперь мы можем найти значения x, y и w, используя полученное значение z:
x = 6z
x = 6 * 12
x = 72

y = 3z
y = 3 * 12
y = 36

w = 3z
w = 3 * 12
w = 36

Итак, мы получили следующие значения:
x = 72
y = 36
z = 12
w = 36

Таким образом, чтобы преподаватель распределил 165 оценок согласно условию задачи, ему понадобится:
72 пятёрки, 36 четвёрки, 12 троек и 36 двоек.