Может ли быть так, чтобы каждая точка, которая является вершиной прямоугольника, также была вершиной ровно трех других

Да, такое возможно.

Представим, что на столе лежит один большой прямоугольник, и давайте назовём его А. Будем рассматривать точки, которые являются вершинами этого прямоугольника А. Заметим, что каждая вершина прямоугольника А может быть вершиной ещё двух прямоугольников: одного прямоугольника, который примыкает к этой вершине слева, и другого прямоугольника, примыкающего к этой вершине сверху.

Предположим, что каждая вершина прямоугольника А является вершиной только двух других прямоугольников. Это может быть, например, когда наш большой прямоугольник А расположен в правом нижнем углу стола. В этом случае верхняя вершина прямоугольника А не может быть вершиной ещё одного прямоугольника, а правая вершина прямоугольника А не может быть вершиной ещё одного прямоугольника.

Однако, если каждая вершина прямоугольника А является вершиной только двух других прямоугольников, то это означает, что каждый из этих двух прямоугольников имеет только по одной общей вершине с прямоугольником А. Но так как каждая вершина прямоугольника А является вершиной ещё двух прямоугольников, то общее количество вершин в этих трех прямоугольниках будет \(3 \times 4 = 12\). Однако, общая вершина каждого прямоугольника может быть только одна. Поэтому такая конфигурация не может быть реализована.

Итак, нет такой ситуации, при которой каждая вершина прямоугольника является вершиной ровно трех других прямоугольников.