Могут ли все точки прямоугольного треугольника, где катеты равны 4 см и 3 см, находиться на поверхности сферы радиусом?

Да, все точки прямоугольного треугольника с катетами длиной 4 см и 3 см могут находиться на поверхности сферы радиусом. Чтобы это понять, давайте рассмотрим пошаговое решение.

1. Пусть A, B и C будут вершинами прямоугольного треугольника, где AB и AC - катеты длиной 4 см и 3 см соответственно.

2. Построим серединный перпендикуляр к стороне AB (серединой которой является точка D) и серединный перпендикуляр к стороне AC (серединой которой является точка E).

3. Поскольку AD и AE - это радиусы сферы, их длины будут равны радиусу сферы.

4. Рассмотрим треугольник ADE, состоящий из сторон AD, AE и DE. Поскольку DE - это отрезок между серединами катетов, его длина равна половине гипотенузы треугольника ABC.

5. По теореме Пифагора, гипотенуза треугольника ABC будет равна \(\sqrt{AB^2 + AC^2}\), то есть \(\sqrt{4^2 + 3^2} = 5\) см.

6. Значит, длина DE будет равна половине гипотенузы, то есть 2.5 см.

7. Таким образом, точки D и E будут находиться на поверхности сферы радиусом 5 см.

8. Так как D и E являются серединными точками сторон AB и AC, они также находятся на прямой, проходящей через середину гипотенузы BC и центр сферы.

9. Теперь мы знаем, что все точки прямоугольного треугольника могут находиться на поверхности сферы радиусом 5 см, включая вершины A, B и C.

Таким образом, ответ на вашу задачу - "Да, все точки прямоугольного треугольника, где катеты равны 4 см и 3 см, могут находиться на поверхности сферы радиусом".