Знайдіть кути трикутника PNO, якщо MN - хорда кола з центром у точці О, а Р - середина MN. У колі проведено радіуси

Для решения этой задачи нам понадобится знание свойств окружности, радиусов и хорд. Давайте разберемся пошагово.

1. Начнем с построения рисунка, чтобы было проще визуализировать задачу. Нарисуем окружность с центром в точке O и радиусом ON. Также нарисуем хорду MN и точку P, которая является серединой хорды MN. Обозначим угол KNР, который равен 35 градусам.

\[
\begin{array}{cccc}
& O & & \\
& | & \\
N & - & - & K \\
& | & \\
& P & & \\
& | & \\
& M & - & - & N \\
\end{array}
\]

2. Вспомним свойство хорды, проходящей через центр окружности. Такая хорда всегда является диаметром окружности. Поэтому диаметр ON будет равен длине хорды MN.

3. Учитывая, что P - середина хорды MN, можно сказать, что PM и PN являются половинами длины хорды MN. То есть PM = PN.

4. Также по условию задачи известно, что угол KNР равен 35 градусам.

Теперь найдем значение угла PNO:

5. Рассмотрим треугольник PNO. Учитывая, что PM = PN, они равными сторонами. Также, поскольку NP - радиус окружности ON, то NP равняется NO.

6. Используем свойство равных сторон в треугольнике PNO. Если две стороны треугольника равны, то соответствующие им углы также равны.

Итак, мы знаем, что угол PNO равен углу PON. Обозначим его через x.

7. Так как треугольник PNO - это равнобедренный треугольник, у которого две стороны равны, то угол PON = x.

8. Кроме того, угол PON - это угол, который лежит между опоясывающими хордами, пересекающимися в точке N. Вспомним свойство таких углов, которое гласит, что угол, заключенный между опоясывающими хордами, равен половине суммы центральных углов.

9. Таким образом, угол PON = (угол NOК + угол КON) / 2.

Мы знаем, что угол KNР равен 35 градусам. Поэтому:

35 = (угол NOК + угол КON) / 2.

10. Найдем угол NOК, используя свойство равенства центрального и опоясывающего углов.

Угол NOК = 2 * угол КON.

11. Подставим найденное значение угла NOК в уравнение:

35 = (2 * угол КON + угол КON) / 2.

35 = (3 * угол КON) / 2.

12. Умножим обе части уравнений на 2/3, чтобы избавиться от деления:

\[
35 * \frac{2}{3} = угол КON.
\]

13. Вычислим это значение:

\[
угол КON = \frac{70}{3}.
\]

14. Теперь найдем угол PON, используя найденное значение:

\[
угол PON = \frac{1}{2} * (2 * угол КON + угол КON) = \frac{1}{2} * \left(2 * \frac{70}{3} + \frac{70}{3}\right).
\]

15. Вычислим это значение:

\[
угол PON = \frac{230}{3}.
\]

Таким образом, мы получили, что угол PNO (который равен углу PON) равен \(\frac{230}{3}\) градуса.