Могла ли последняя команда набрать 6 очков в турнире математических боев, где участвовали 12 команд, и за победу

Давайте вместе разберем эту задачу пошагово.

У нас есть 12 команд, каждая из которых играет с каждой по одному разу. Общее количество игр будет равно количеству пар команд, которое можно вычислить с помощью формулы для числа сочетаний \(C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!}\).

Давайте вычислим это значение для нашей задачи:
\[C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12 \cdot 11}{2} = 66.\]

Таким образом, всего будет сыграно 66 игр.

За победу команде начисляется 2 очка, за ничью - 1, за поражение - 0.

Поскольку все команды набрали разное количество очков, предположим, что последняя команда набрала 6 очков.

Необходимо найти такое количество очков, которое могли набрать остальные команды.

Так как всего 66 игр и каждая команда играет один раз с каждой другой командой, то сумма очков всех команд будет равна сумме всех возможных исходов игр.

Максимальное число возможных очков, которые команда может набрать, равно \(66 \cdot 2 = 132\) (все победы).

Минимальное число возможных очков, равное сумме всех возможных поражений команды в остальных играх, равно \(66 \cdot 0 = 0\) (все поражения).

Таким образом, все команды вместе могли набрать от 0 до 132 очков.

Теперь у нас есть ограничение: последняя команда набрала 6 очков.

Чтобы узнать, могла ли последняя команда набрать 6 очков, мы должны проверить, лежит ли это число в диапазоне от 0 до 132.

Итак, ответ на задачу: да, последняя команда могла набрать 6 очков, если это число находится в диапазоне от 0 до 132.

Надеюсь, объяснение было понятным и подробным для школьника. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!