Местоположение источника света в виде точечного источника на дне водоема с глубиной h = 0,4 м. В точке на поверхности

Для того чтобы решить данную задачу, мы можем использовать законы преломления и отражения света. По условию, у нас есть точечный источник света на дне водоема и преломленный луч, выходящий на поверхность воды перпендикулярным лучу, отраженному от поверхности воды обратно в воду.

Для начала, найдем угол падения луча света на поверхность воды. Поскольку преломленный луч перпендикулярен отраженному лучу, значит угол падения и угол отражения равны между собой и оба равны углу, образуемому лучом света на поверхности воды. Обозначим этот угол как \(\theta\).

Закон преломления света гласит, что отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равно отношению показателей преломления сред:
\[\frac{{\sin(\theta_1)}}{{\sin(\theta_2)}} = \frac{{n_2}}{{n_1}}\]

Где \(\theta_1\) - угол падения, \(\theta_2\) - угол преломления и \(n_1\), \(n_2\) - показатели преломления первой и второй сред соответственно.

В нашем случае, угол падения луча света на поверхность воды равен углу преломления воздуха, так как луч проходит из воды в воздух. Показатель преломления воздуха равен 1, а показатель преломления воды \(n = \frac{4}{3}\). Поэтому у нас получается следующее уравнение:
\[\frac{{\sin(\theta)}}{{\sin(\theta)}} = \frac{{\frac{4}{3}}}{{1}}\]

Сокращая дробь, получаем:
\[\sin(\theta) = \frac{3}{4}\]

Теперь, используя известное значение синуса угла, мы можем найти сам угол \(\theta\). Применяя обратную функцию синуса, получаем:
\[\theta \approx \arcsin\left(\frac{3}{4}\right)\]

Теперь, чтобы найти расстояние от источника света до дна водоема, мы можем использовать геометрию и свойства подобных треугольников. Обозначим эту расстояние как \(x\). Наблюдаем, что углы падения и преломления лучей света равны, значит треугольники, образованные лучами света до поверхности воды и отраженного от поверхности воды луча, подобны соответственно треугольникам, образованным лучами после они покинут поверхность воды и дальше пойдут в воду или в воздух.

Поэтому вертикальные участки треугольников должны быть пропорциональны. Наблюдаем, что вертикальный участок треугольника, образованного лучами после они покинут поверхность воды, равен \(h - x\) (высота водоема минус \(x\)). Верхний участок (воздушный отрезок) равен \(h\). Таким образом, мы можем составить пропорцию:
\[\frac{{h - x}}{{h}} = \frac{{h}}{{x}}\]

Решая это уравнение относительно \(x\), получаем следующее:
\[x(h - x) = h^2\]

Теперь перенесем всё в левую часть уравнения и решим получившееся квадратное уравнение:
\[x^2 - hx +h^2 = 0\]

Используя квадратное уравнение, мы можем найти корни \(x_1\) и \(x_2\) этого уравнения. В нашем случае, мы ищем только положительные корни, так как ищем длину пути луча света до дна водоема, а не до поверхности воды. Вот формула для нахождения корня квадратного уравнения:
\[x_{1, 2} = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\]

Таким образом, мы можем искать положительный корень \(x\) с помощью такой формулы. Подставляем значения коэффициентов:
\[a = 1, \quad b = -h, \quad c = h^2\]

Получаем:
\[x = \frac{{h + \sqrt{{3h^2}}}}{{2}}\]

Таким образом, расстояние от источника на дне водоема до дна, где достигает отраженный луч, равно \(\frac{{h + \sqrt{{3h^2}}}}{{2}}\).

Теперь перейдем ко второй задаче о тени от колышка. Здесь нам даны высота вертикального колышка \(h = 0,9\) м и длина тени \(l_1 = 0,6\) м. Если мы переместим колышек на расстояние \(d = 0,5\) м дальше от фонаря, то тень увеличится.

Также здесь можно использовать подобные треугольники для нахождения поправки к тени.

Обозначим новую длину тени как \(l_2\). Так как треугольники, образованные в результате перемещения колышка, будут подобны первоначальным треугольникам, получаем следующую пропорцию:
\[\frac{{l_1}}{{h}} = \frac{{l_2}}{{h + d}}\]

Решая уравнение относительно \(l_2\), получаем:
\[l_2 = \frac{{l_1 \cdot (h + d)}}{{h}}\]

Подставляя известные значения, получаем:
\[l_2 = \frac{{0,6 \cdot (0,9 + 0,5)}}{{0,9}}\]

Таким образом, новая длина тени \(l_2\) составляет примерно 1,33 метра.

В итоге, ответы на поставленные в задаче вопросы:

1. Расстояние от источника на дне водоема до дна, где достигает отраженный луч, составляет примерно 1,27 метра.

2. При перемещении колышка на 0,5 метра дальше от фонаря, длина его тени увеличится примерно до 1,33 метра.