Механізм, який відокремив останню ступінь ракети від супутника, надав йому швидкість 1 м/с відносно спільного центра

Для розв"язання цієї задачі використовуємо закон збереження кінетичної енергії. Згідно з цим законом, сума кінетичної енергії до відокремлення ступеня і після повинна залишатися однаковою.

Почнемо з обчислення початкової кінетичної енергії системи. Формула для обчислення кінетичної енергії:

\[ E_{initial} = \frac{1}{2} m_{satellite} v_{satellite}^2 + \frac{1}{2} m_{stage} v_{stage}^2 \]

Де:
\(m_{satellite}\) - маса супутника,
\(v_{satellite}\) - швидкість супутника,
\(m_{stage}\) - маса ступеня,
\(v_{stage}\) - швидкість ступеня.

Замінюємо відомі значення:

\(m_{satellite} = 5 \, \text{тонн} = 5000 \, \text{кг}\) (1 тонна = 1000 кг)

\(v_{satellite} = 0 \, \text{м/с}\) (швидкість супутника до відокремлення ступеня)

\(v_{stage} = 1 \, \text{м/с}\) (швидкість ступеня відносно спільного центра мас)

Підставляємо значення у формулу:

\[ E_{initial} = \frac{1}{2} \cdot 5000 \cdot (0)^2 + \frac{1}{2} \cdot m_{stage} \cdot (1)^2 = \frac{1}{2} \cdot m_{stage} \, \text{Дж} \]

Тепер обчислюємо кінетичну енергію після відокремлення ступеня. Згідно формули:

\[ E_{final} = \frac{1}{2} m_{satellite} v_{satellite}^2 + \frac{1}{2} m_{stage} v_{stage}^2 \]

Раз відокремлення ступеня надало додаткову швидкість супутнику, ми можемо записати:

\(v_{satellite} = v_{stage} + \Delta v_{satellite}\)

де \(\Delta v_{satellite}\) - додаткова швидкість супутника.

Підставляємо значення у формулу:

\[ E_{final} = \frac{1}{2} \cdot 5000 \cdot (v_{stage} + \Delta v_{satellite})^2 + \frac{1}{2} \cdot m_{stage} \cdot v_{stage}^2 \]

Розкриваємо квадрат та спрощуємо:

\[ E_{final} = \frac{1}{2} \cdot 5000 \cdot (v_{stage}^2 + 2 \cdot v_{stage} \cdot \Delta v_{satellite} + (\Delta v_{satellite})^2) + \frac{1}{2} \cdot m_{stage} \cdot v_{stage}^2 \]

\[ E_{final} = \frac{1}{2} \cdot 5000 \cdot v_{stage}^2 + 5000 \cdot v_{stage} \cdot \Delta v_{satellite} + \frac{1}{2} \cdot 5000 \cdot (\Delta v_{satellite})^2 + \frac{1}{2} \cdot m_{stage} \cdot v_{stage}^2 \]

\[ E_{final} = \frac{1}{2} \cdot (5000 + m_{stage}) \cdot v_{stage}^2 + 5000 \cdot v_{stage} \cdot \Delta v_{satellite} + \frac{1}{2} \cdot 5000 \cdot (\Delta v_{satellite})^2 \]