Контрольная работа по теме «Параллелограмм и его разновидности» Вариант 1 1. Если одна сторона параллелограмма втрое

Чтобы решить задачи варианта 1, связанные с параллелограммами и их разновидностями, давайте рассмотрим каждую задачу по очереди.

1. Для нахождения длин сторон параллелограмма, зная, что одна сторона втрое меньше другой и периметр равен 72 см, давайте обозначим длину большей стороны через х, а длину меньшей стороны - через 3х. Тогда периметр параллелограмма можно представить в виде уравнения: $2(3x+x)=72$. Решим это уравнение:

$$2(3x+x)=72$$
$$8x=72$$
$$x=9$$

Таким образом, длина большей стороны равна 9 см, а длина меньшей стороны равна 3 * 9 = 27 см.

2. Для нахождения периметра треугольника COD, зная, что диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, а AB = 10 см и BD = 12 см, мы можем использовать свойство подобных треугольников. Из подобия треугольников AOB и COD, мы можем найти соотношение между их сторонами:

$$\frac{CO}{AO}=\frac{CD}{AB}$$
$$\frac{CO}{10}=\frac{CD}{12}$$
$CD=\frac{12CO}{10}=\frac{6CO}{5}$

Теперь нам нужно найти длину CO. Мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике АОВ:

$$A{O}^2+O{B}^2=A{B}^2$$
$${10}^2+B{O}^2={12}^2$$
$B{O}^2=144-100=44$

Теперь, зная, что $BO=CO$, мы можем найти длину CO, применив теорему Пифагора:

$$C{O}^2=B{O}^2+B{C}^2$$
$$C{O}^2=44+{10}^2$$
$$C{O}^2=144$$
$$CO=12$$

Теперь мы можем рассчитать длину CD:

$$CD=\frac{6CO}{5}=\frac{6\ast 12}{5}=\frac{72}{5}$$

Для нахождения периметра треугольника COD, нам нужно сложить все три стороны треугольника:

$$Perimeter=CO+CD+OD=12+\frac{72}{5}+12$$

3. Для того чтобы найти углы, которые сторона ромба образует с его диагоналями, давайте обозначим ромб ABCD, где AC и BD - диагонали, пересекающиеся в точке O. Поскольку ромб является параллелограммом, его стороны параллельны и равны друг другу, а диагонали делятся пополам и создают равные углы.

Предположим, что угол ACD равен 64°. Из свойств ромба мы знаем, что противолежащие углы ромба равны. То есть угол BCD также равен 64°. Диагональ BD делит угол ACD пополам, поэтому угол DBO равен 32°.

Таким образом, углы, которые сторона ромба образует с его диагоналями, равны 64° и 32°.

4. Чтобы доказать, что BM = KC, если на диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены точки M и K так, что ∠BAM = ∠DCK, мы можем использовать свойства параллельных линий и соответствующие углы.

Из условия, мы знаем, что BM = KC и ∠BAM = ∠DCK. Предположим, что BM ≠ KC. Тогда параллельные линии AM и CK пересекутся в точке P. Так как углы BCK и BAM являются соответственными углами, они равны. Таким же образом, углы BKC и BAM также равны. Но это противоречит условию, что ∠BAM ≠ ∠BKC. Следовательно, наше предположение было неверным, и, следовательно, BM = KC.

Таким образом, мы доказали, что BM равно KC.