Контрольная работа по теме «Параллелограмм и его разновидности» Вариант 1 1. Если одна сторона параллелограмма втрое

Чтобы решить задачи варианта 1, связанные с параллелограммами и их разновидностями, давайте рассмотрим каждую задачу по очереди.

1. Для нахождения длин сторон параллелограмма, зная, что одна сторона втрое меньше другой и периметр равен 72 см, давайте обозначим длину большей стороны через х, а длину меньшей стороны - через 3х. Тогда периметр параллелограмма можно представить в виде уравнения: \(2(3x + x) = 72\). Решим это уравнение:

\[2(3x + x) = 72\]
\[8x = 72\]
\[x = 9\]

Таким образом, длина большей стороны равна 9 см, а длина меньшей стороны равна 3 * 9 = 27 см.

2. Для нахождения периметра треугольника COD, зная, что диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, а AB = 10 см и BD = 12 см, мы можем использовать свойство подобных треугольников. Из подобия треугольников AOB и COD, мы можем найти соотношение между их сторонами:

\[\frac{{CO}}{{AO}} = \frac{{CD}}{{AB}}\]
\[\frac{{CO}}{{10}} = \frac{{CD}}{{12}}\]
\(CD = \frac{{12CO}}{{10}} = \frac{{6CO}}{{5}}\)

Теперь нам нужно найти длину CO. Мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике АОВ:

\[AO^2 + OB^2 = AB^2\]
\[10^2 + BO^2 = 12^2\]
\(BO^2 = 144 - 100 = 44\)

Теперь, зная, что \(BO = CO\), мы можем найти длину CO, применив теорему Пифагора:

\[CO^2 = BO^2 + BC^2\]
\[CO^2 = 44 + 10^2\]
\[CO^2 = 144\]
\[CO = 12\]

Теперь мы можем рассчитать длину CD:

\[CD = \frac{{6CO}}{{5}} = \frac{{6*12}}{{5}} = \frac{{72}}{{5}}\]

Для нахождения периметра треугольника COD, нам нужно сложить все три стороны треугольника:

\[Perimeter = CO + CD + OD = 12 + \frac{{72}}{{5}} + 12\]

3. Для того чтобы найти углы, которые сторона ромба образует с его диагоналями, давайте обозначим ромб ABCD, где AC и BD - диагонали, пересекающиеся в точке O. Поскольку ромб является параллелограммом, его стороны параллельны и равны друг другу, а диагонали делятся пополам и создают равные углы.

Предположим, что угол ACD равен 64°. Из свойств ромба мы знаем, что противолежащие углы ромба равны. То есть угол BCD также равен 64°. Диагональ BD делит угол ACD пополам, поэтому угол DBO равен 32°.

Таким образом, углы, которые сторона ромба образует с его диагоналями, равны 64° и 32°.

4. Чтобы доказать, что BM = KC, если на диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены точки M и K так, что ∠BAM = ∠DCK, мы можем использовать свойства параллельных линий и соответствующие углы.

Из условия, мы знаем, что BM = KC и ∠BAM = ∠DCK. Предположим, что BM ≠ KC. Тогда параллельные линии AM и CK пересекутся в точке P. Так как углы BCK и BAM являются соответственными углами, они равны. Таким же образом, углы BKC и BAM также равны. Но это противоречит условию, что ∠BAM ≠ ∠BKC. Следовательно, наше предположение было неверным, и, следовательно, BM = KC.

Таким образом, мы доказали, что BM равно KC.