Контрольная работа номер 5 на тему: «Решение квадратных уравнений» Вариант 1 1. Решите следующие уравнения

1. а) Для решения уравнения \(5x^2 - 25x = 0\) мы можем вынести общий множитель \(5x\) из обеих частей уравнения:
\[5x(x - 5) = 0\]

\[x(x - 5) = 0\]

Таким образом, у нас есть два возможных решения: \(x = 0\) и \(x - 5 = 0\), что приводит к \(x = 5\). Ответ: \(x = 0, 5\).

б) Для уравнения \(5x^2 + 3x - 2 = 0\) мы можем использовать метод разложения на множители или квадратичную формулу. Если мы применим метод разложения на множители, мы ищем два числа, которые перемножаются, чтобы дать -10 (произведение коэффициента первого члена на коэффициент третьего члена) и сумма которых равна 3 (коэффициент второго члена). В данном случае эти числа составляют 5 и -2:
\[5x^2 + 5x - 2x - 2 = 0\]
\[5x(x + 1) - 2(x + 1) = 0\]
\[(5x - 2)(x + 1) = 0\]

Таким образом, имеем два возможных значения для \(x\): \(5x - 2 = 0\) и \(x + 1 = 0\), что приводит к \(x = \frac{2}{5}, -1\). Ответ: \(x = \frac{2}{5}, -1\).

в) Для уравнения \(x^2 + 10x + 9 = 0\) мы также можем применить метод разложения на множители или квадратичную формулу. Если мы применим метод разложения на множители, мы ищем два числа, которые перемножаются, чтобы дать 9 (произведение коэффициента первого члена на коэффициент третьего члена) и сумма которых равна 10 (коэффициент второго члена). В данном случае эти числа составляют 1 и 9:
\[x^2 + x + 9x + 9 = 0\]
\[(x+1)(x+9) = 0\]

Таким образом, имеем два возможных значения для \(x\): \(x + 1 = 0\) и \(x + 9 = 0\), что приводит к \(x = -1, -9\). Ответ: \(x = -1, -9\).

г) В уравнении \(5x - x+2 = 0\) выбивается ошибка в записи. Пожалуйста, уточните правильное уравнение, и я с радостью помогу вам его решить.

2. Для решения уравнения \(L(2x - 1)(2x + 1) - (x - 3)(x + 1) = 18\) начнем с раскрытия скобок:
\[4Lx^2 - L + 4Lx^2 - 4L - x^2 + 2x + 3x - 3 = 18\]
\[8Lx^2 - x^2 + 6x - 3 = 18\]
\[(8L - 1)x^2 + 6x - 3 - 18 = 0\]
\[(8L - 1)x^2 + 6x - 21 = 0\]

Затем мы можем использовать формулу дискриминанта для нахождения корней этого квадратного уравнения:
\[D = b^2 - 4ac\]

Для данного уравнения коэффициенты равны: \(a = 8L - 1\), \(b = 6\), \(c = -21\).

\[D = 6^2 - 4(8L - 1)(-21)\]
\[D = 36 - 4(168L - 21)\]
\[D = 36 - (672L - 84)\]
\[D = -672L + 120\]

Далее, рассмотрим три случая:

1. Если \(D > 0\), то уравнение имеет два различных действительных корня. Можно воспользоваться формулой для нахождения корней:
\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]
Подставляем значения из данного примера:
\[x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{-672L + 120}}{2(8L - 1)}\]

2. Если \(D = 0\), то уравнение имеет один действительный корень:
\[x = \frac{-b}{2a}\]
Подставляем значения:
\[x = \frac{-6}{2(8L - 1)}\]

3. Если \(D < 0\), то уравнение не имеет действительных корней, а имеет два мнимых корня.

3. Для нахождения двух натуральных чисел, произведение которых равно 180, и одно число больше другого на 3, мы можем использовать подход "перебор" или алгебраический подход.

а) Подход "перебор":
Мы знаем, что произведение двух чисел равно 180. Можно начать перебирать все числа от 1 до 180 и проверять, удовлетворяют ли они условию, что одно число больше другого на 3. В этом случае наше первое число может быть 10, а второе 13. Проверим:
\[10 \cdot 13 = 130\]
\[13 - 10 = 3\]
Условие выполняется.

б) Алгебраический подход:
Мы знаем, что одно число больше другого на 3. Пусть меньшее число будет \(x\), тогда большее число будет \(x + 3\). Таким образом, у нас есть уравнение \(x(x + 3) = 180\). Воспользуемся методом разложения на множители:
\[x^2 + 3x - 180 = 0\]

Мы можем решить это уравнение с помощью факторизации или квадратичной формулы. Если мы используем метод разложения на множители, то ищем два числа, которые перемножаются, чтобы дать 180 (произведение коэффициента первого члена на коэффициент третьего члена) и сумма которых равна 3 (коэффициент второго члена). В данном случае эти числа составляют 15 и 12:
\[x^2 + 15x - 12x - 180 = 0\]
\[x(x + 15) - 12(x + 15) = 0\]
\[(x - 12)(x + 15) = 0\]

Таким образом, у нас есть два возможных значения для \(x\): \(x - 12 = 0\) и \(x + 15 = 0\), что приводит к \(x = 12, -15\). Ответ: \(x = 12, -15\).

4. Предположим, что более короткая сторона прямоугольника равна \(x\). Тогда более длинная сторона будет равна \(x + 7\). Мы знаем, что площадь прямоугольника равна 44, поэтому мы можем составить уравнение на основе определения площади:
\[x(x + 7) = 44\]
\[x^2 + 7x = 44\]
\[x^2 + 7x - 44 = 0\]

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью факторизации или квадратичной формулы. Если мы снова используем метод разложения на множители, мы ищем два числа, которые перемножаются, чтобы дать -44 (произведение коэффициента первого члена на коэффициент третьего члена) и сумма которых равна 7 (коэффициент второго члена). В данном случае эти числа составляют 11 и -4:
\[x^2 + 11x - 4x - 44 = 0\]
\[x(x + 11) - 4(x + 11) = 0\]
\[(x - 4)(x + 11) = 0\]

Таким образом, у нас есть два возможных значения для \(x\): \(x - 4 = 0\) и \(x + 11 = 0\), что приводит к \(x = 4, -11\). Ответ: \(x = 4, -11\).

Чтобы найти периметр прямоугольника, мы можем использовать формулу:
\[P = 2L + 2W\]
где \(L\) - длина, \(W\) - ширина.
В данном случае длиной будет \(x + 7\), а шириной - \(x\).
Подставляем значения:
\[P = 2(x + 7) + 2x\]
\[P = 2x + 14 + 2x\]
\[P = 4x + 14\]
\[P = 4 \cdot 4 + 14\]
\[P = 16 + 14\]
\[P = 30\]

Периметр прямоугольника равен 30 см.

5. К сожалению, ваш вопрос не завершен. Пожалуйста, предоставьте дополнительные сведения, и я постараюсь помочь вам.