Контрольная работа номер 4 на тему Векторы Вариант 1 1. Найдите: 1) координаты векторов AB, AC и BC; 2) модули векторов

1. Решение:

1) Для нахождения координат векторов AB, AC и BC, необходимо вычислить разности координат соответствующих точек. Пусть координаты точки A равны (x1, y1), координаты точки B равны (x2, y2), а координаты точки C равны (x3, y3). Тогда:

- Координаты вектора AB: (x2 - x1, y2 - y1)
- Координаты вектора AC: (x3 - x1, y3 - y1)
- Координаты вектора BC: (x3 - x2, y3 - y2)

2) Для нахождения модулей векторов AB, AC и BC, применяем формулу нахождения длины вектора:

- Модуль вектора AB: \(\sqrt{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2}\)
- Модуль вектора AC: \(\sqrt{(x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2}\)
- Модуль вектора BC: \(\sqrt{(x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2}\)

3) Для нахождения координат вектора AC-BC, нужно вычесть из координат вектора AC соответствующие координаты вектора BC:

- Координаты вектора AC-BC: ((x3 - x1) - (x3 - x2), (y3 - y1) - (y3 - y2))

4) Для нахождения скалярного произведения векторов AB и AC, применяем формулу скалярного произведения:

- Скалярное произведение векторов AB и AC: (x2 - x1) * (x3 - x1) + (y2 - y1) * (y3 - y1)

5) Для нахождения косинуса угла между векторами AB и AC, используем формулу косинуса угла между векторами:

- Косинус угла между векторами AB и AC: \(\frac{(x2 - x1) * (x3 - x1) + (y2 - y1) * (y3 - y1)}{\sqrt{(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2} * \sqrt{(x3 - x1)^2 + (y3 - y1)^2}}\)

2. Для рисования треугольника ABC, следует нарисовать три отрезка, представляющих векторы AB, AC и BC, начиная с точки A и заканчивая точками B, C и B соответственно.

3. Решение:

- Если векторы AB и kAC параллельны, то они коллинеарны, то есть могут быть представлены одним и тем же вектором. Для этого значения k должно удовлетворять отношению:

\(\frac{x2 - x1}{x3 - x1} = \frac{y2 - y1}{y3 - y1}\)

- Если векторы AB и kAC перпендикулярны, то их скалярное произведение должно быть равно нулю:

\((x2 - x1) * (x3 - x1) + (y2 - y1) * (y3 - y1) = 0\)

4. Для выражения вектора AD через векторы AB и CD, используем свойство параллелограмма:

- В параллелограмме ABCD: AD = AB + CD

Также, с учетом данных условия, можно записать:

- В параллелограмме ABCD: AD = AB + PD - PA

Где PD = DC и PA = BM.

Используя данные отношений:

- В параллелограмме ABCD: BM : MC = 2 : 5 и CP : PD = 3 : 1

Можно выразить соответствующие векторы:

- Вектор PD = \(\frac{3}{4}\) * CD
- Вектор BM = \(\frac{2}{7}\) * BC

Таким образом:

- Вектор AD = AB + PD - PA = AB + \(\frac{3}{4}\) * CD - \(\frac{2}{7}\) * BC

5. Для нахождения+ модуля вектора AD, применяется формула нахождения длины вектора:

- Модуль вектора AD: \(\sqrt{(x4 - x1)^2 + (y4 - y1)^2}\)

где (x4, y4) - координаты точки D.