Каков объем тела, получившегося в результате вращения прямоугольного треугольника АВС с гипотенузой АВ, равной 6

Хорошо, чтобы найти объем тела, получившегося в результате вращения прямоугольного треугольника АВС вокруг одного из своих катетов, мы можем использовать метод цилиндра. Давайте разберемся пошагово:

Шаг 1: Найдите длину катета СВ.
Известно, что гипотенуза АВ равна 6 см. А также угол А равен 300 градусов. Вспомним, что синус угла можно найти по формуле:
\(\sin(\theta) = \frac{{\text{{противоположная сторона}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}\)
Заменим значения:
\(\sin(30^\circ) = \frac{{СВ}}{{6}}\)
\(\frac{{1}}{{2}} = \frac{{СВ}}{{6}}\)
Умножим обе стороны на 6:
\(3 = СВ\)

Шаг 2: Найдите площадь основания цилиндра.
Основание цилиндра является прямоугольным треугольником АВС. Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:
\(\text{{Площадь}} = \frac{{\text{{катет 1}} \times \text{{катет 2}}}}{2}\)
Заменим значения:
\(\text{{Площадь}} = \frac{{6 \times 3}}{2}\)
\(\text{{Площадь}} = 9\) квадратных сантиметров

Шаг 3: Найдите высоту цилиндра.
Высота цилиндра равна длине катета СВ, которую мы уже нашли в первом шаге:
Высота = СВ = 3 см

Шаг 4: Найдите объем цилиндра.
Объем цилиндра можно найти по формуле:
\(\text{{Объем}} = \text{{Площадь основания}} \times \text{{Высота}}\)
Подставим значения:
\(\text{{Объем}} = 9 \times 3\)
\(\text{{Объем}} = 27\) кубических сантиметров

Таким образом, объем тела, получившегося в результате вращения прямоугольного треугольника АВС вокруг катета, равен 27 кубическим сантиметрам.