Контрольная работа на тему «Решение систем линейных уравнений» Задание 7 Вариант 2 1. Выберите решение системы линейных

Задание 7:
1. Для решения системы линейных уравнений 7x + 4y = 10 и 2x + 3y = 1 из предложенных пар чисел (-2; 1), (2; -1), (1; 2), нужно подставить значения переменных x и y в оба уравнения и проверить, выполняются ли они.

- Подставим (-2; 1) в уравнения:
Для первого уравнения: 7*(-2) + 4*1 = -14 + 4 = -10
Для второго уравнения: 2*(-2) + 3*1 = -4 + 3 = -1
Полученные значения не совпадают с исходными уравнениями.

- Подставим (2; -1) в уравнения:
Для первого уравнения: 7*2 + 4*(-1) = 14 - 4 = 10
Для второго уравнения: 2*2 + 3*(-1) = 4 - 3 = 1
Полученные значения совпадают с исходными уравнениями.

- Подставим (1; 2) в уравнения:
Для первого уравнения: 7*1 + 4*2 = 7 + 8 = 15
Для второго уравнения: 2*1 + 3*2 = 2 + 6 = 8
Полученные значения не совпадают с исходными уравнениями.

Итак, решение системы линейных уравнений 7x + 4y = 10 и 2x + 3y = 1 имеет вид (2; -1).

2.а) Решим систему уравнений x+y=5 и x-y=7.
Способ 1: Метод сложения.
Сложим оба уравнения:
(x + y) + (x - y) = 5 + 7
После упрощения получим:
2x = 12
Разделим обе части на 2:
x = 6
Подставим найденное значение x в первое уравнение и найдем y:
6 + y = 5
y = 5 - 6
y = -1
Итак, решение системы уравнений x+y=5 и x-y=7 равно x = 6 и y = -1.

Способ 2: Метод подстановки.
Решим первое уравнение x+y=5 относительно x:
x = 5 - y
Подставим найденное выражение для x во второе уравнение и решим получившееся уравнение относительно y:
(5 - y) - y = 7
5 - 2y = 7
-2y = 7 - 5
-2y = 2
Разделим обе части на -2:
y = -1
Подставим полученное значение y в первое уравнение и найдем x:
x = 5 - (-1)
x = 5 + 1
x = 6
Итак, решение системы уравнений x+y=5 и x-y=7 равно x = 6 и y = -1.

Подводя итог, решение системы уравнений x+y=5 и x-y=7 равно x = 6 и y = -1.

2.б) Решим систему уравнений a+b=2 и 5a+2b=3.
Способ 1: Метод сложения.
Умножим первое уравнение на 5 и второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при переменных a и b совпали и можно было сложить уравнения:
5(a + b) = 5*2
2(5a + 2b) = 2*3
После упрощения получим:
5a + 5b = 10
10a + 4b = 6
Сложим оба уравнения:
(5a + 5b) + (10a + 4b) = 10 + 6
15a + 9b = 16
Это уравнение содержит две переменные и одно уравнение, поэтому решения может быть бесконечно много. Мы не можем однозначно определить значения переменных a и b.

Способ 2: Метод подстановки.
Решим первое уравнение a+b=2 относительно a:
a = 2 - b
Подставим найденное выражение для a во второе уравнение и решим получившееся уравнение относительно b:
5(2 - b) + 2b = 3
10 - 5b + 2b = 3
-3b = 3 - 10
-3b = -7
Разделим обе части на -3:
b = -7 / -3
b = 7/3
Подставим полученное значение b в первое уравнение и найдем a:
a + 7/3 = 2
a = 2 - 7/3
a = 6/3 - 7/3
a = -1/3
Итак, решение системы уравнений a+b=2 и 5a+2b=3 равно a = -1/3 и b = 7/3.

Подводя итог, решение системы уравнений a+b=2 и 5a+2b=3 равно a = -1/3 и b = 7/3.

3. Чтобы найти значения k и b в уравнении прямой у = kx + b, проходящей через точки А(2; 7) и В(-1; -2), нужно использовать формулу для нахождения коэффициента наклона k:
k = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Подставим координаты точек в формулу:
k = (-2 - 7) / (-1 - 2)
k = -9 / -3
k = 3

Теперь, используя найденное значение k, подставим координаты одной из точек в уравнение прямой и найдем b:
7 = 3*2 + b
7 = 6 + b
b = 7 - 6
b = 1

Итак, значения k и b в уравнении прямой у = kx + b, проходящей через точки А(2; 7) и В(-1; -2), равны k = 3 и b = 1.

4. Предположим, что вес одной доски равен d кг, а вес одного бруса - c кг.

Согласно условию задачи, вес пяти досок и шести брусьев составляет 107 кг, что можно записать как уравнение:
5d + 6c = 107

Также в условии задачи сказано, что четыре доски весят на 4 кг больше, чем два брусья, что можно записать как уравнение:
4d - 2c = 4

Решим эту систему уравнений методом сложения.

Умножим второе уравнение на 5, чтобы коэффициенты при переменной d совпали и можно было сложить уравнения:
5(4d - 2c) = 5*4
20d - 10c = 20

Теперь сложим оба уравнения:
(5d + 6c) + (20d - 10c) = 107 + 20
25d - 4c = 127

Получили систему уравнений:
25d - 4c = 127 (1)
5d + 6c = 107 (2)

Решим эту систему уравнений методом сложения.

Умножим первое уравнение на 5 и второе уравнение на -25, чтобы коэффициенты при переменной d совпали и можно было сложить уравнения:
5(25d - 4c) = 5*127
-25(5d + 6c) = -25*107

После упрощения получим:
125d - 20c = 635
-125d - 150c = -2675

Сложим оба уравнения:
(125d - 20c) + (-125d - 150c) = 635 + (-2675)
-170c = -2040

Разделим обе части на -170:
c = -2040 / -170
c = 12

Теперь подставим полученное значение c в любое уравнение системы и найдем d:
5d + 6*12 = 107
5d + 72 = 107
5d = 107 - 72
5d = 35
d = 35 / 5
d = 7

Итак, вес одной доски равен 7 кг, а вес одного бруса равен 12 кг.

Подводя итог, вес одной доски составляет 7 кг, а вес одного бруса - 12 кг.