Контрольная работа №6 о площади круга и его частей, вариант-1: 1. Найдите площадь круга с диаметром 6см. 2. Если

1. Для нахождения площади круга с диаметром 6см, нам понадобится использовать формулу для расчета площади круга. Площадь круга вычисляется по формуле \(S = \pi r^2\), где \(S\) - площадь круга, \(\pi\) - математическая константа, примерно равная 3.14, \(r\) - радиус круга.

В нашем случае, диаметр круга равен 6см, что означает, что радиус равен половине диаметра: \(r = \frac{6}{2} = 3\)см.

Теперь мы можем подставить значение радиуса в формулу и вычислить площадь круга:
\[S = 3.14 \times 3^2 = 28.26 \, \text{см}^2\]

Ответ: площадь круга с диаметром 6см равна 28.26 см².

2. Перед тем, как перейти к решению данного вопроса, давайте вспомним, что такое подобные многоугольники. Два многоугольника называются подобными, если их соответствующие углы равны, а соотношение длин их сторон постоянно.

Пусть первый многоугольник имеет площадь \(S_1\) и периметр \(P_1\), а второй многоугольник имеет площадь \(S_2\) и периметр \(P_2\). Согласно условию задачи, площади многоугольников пропорциональны числам 9 и 10. Это значит, что \(\frac{S_1}{S_2} = \frac{9}{10}\).

Также известно, что периметр одного из многоугольников на 10см больше периметра другого. Давайте обозначим эту разницу в периметрах как \(d\). Тогда у нас есть следующее соотношение: \(P_1 - P_2 = d\).

Мы хотим найти периметры обоих многоугольников. Для этого нам нужно составить систему уравнений на основе данных условиях.

Сначала определим отношение периметров:

\(\frac{P_1}{P_2} = \frac{S_1}{S_2} = \frac{9}{10}\)

Затем учтем разницу в периметрах:

\(P_1 - P_2 = d\)

Теперь у нас есть два уравнения:
\(\frac{P_1}{P_2} = \frac{9}{10}\) и \(P_1 - P_2 = d\).

Данная система уравнений неоднородная и содержит два неизвестных. Решение системы можно найти, например, методом подстановки.

Допустим, мы примем \(P_2\) за некоторое значение \(x\). Тогда \(P_1 = \frac{9}{10}x\) и \(P_1 - P_2 = d\).
Из второго уравнения получим \(P_1 = d + P_2\). Подставим значение \(P_1\) в первое уравнение: \(\frac{d+P_2}{P_2} = \frac{9}{10}\).

Раскроем скобки: \(\frac{d}{P_2} + \frac{P_2}{P_2} = \frac{9}{10}\). Получим: \(\frac{d}{P_2} + 1 = \frac{9}{10}\).

Перепишем последнее уравнение в виде: \(\frac{d}{P_2} = \frac{9}{10} - 1 = \frac{1}{10}\).

Теперь избавимся от дроби, умножив обе части уравнения на 10P2: \(d = \frac{1}{10} \cdot 10P_2 = P_2\).

Мы получили, что разница в периметрах равна \(d = P_2\). Это значит, что периметры двух многоугольников равны: \(P_1 = P_2 + d = P_2 + P_2 = 2P_2\).

Теперь мы знаем, что периметр одного многоугольника равен удвоенному периметру другого. Давайте решим это уравнение:

\(2P_2 = P_1\)

Так как мы не знаем конкретных значений площадей и периметров многоугольников, мы не можем вычислить их численные значения. Однако, мы можем выразить один периметр через другой. Получив выражение для \(P_1\) через \(P_2\), можно использовать это уравнение для нахождения их периметров, исходя из конкретных данных в задаче.

3. Чтобы вычислить площадь сектора, соответствующего центральному углу 45º, нам нужно знать формулу для нахождения площади сектора круга. Формула для площади сектора выглядит следующим образом: \(S = \frac{n}{360} \pi r^2\), где \(S\) - площадь сектора, \(n\) - мера центрального угла, \(\pi\) - математическая константа примерно равная 3.14, \(r\) - радиус круга.

В нашем случае, радиус круга равен 4см, а мера центрального угла равна 45º.

Теперь мы можем подставить значения в формулу и вычислить площадь сектора:
\[S = \frac{45}{360} \times 3.14 \times 4^2 = \frac{1}{8} \times 3.14 \times 16 = 2 \times 3.14 \approx 6.28 \, \text{см}^2\]

Ответ: площадь сектора, соответствующего центральному углу 45º, при радиусе 4см, равна примерно 6.28 см².

4. Чтобы найти площадь круга, который вписан в треугольник со сторонами 10см, 24см и 26см, нам понадобится использовать следующую формулу: \(S = r^2 \pi\), где \(S\) - площадь круга, \(r\) - радиус круга, \(\pi\) - математическая константа, примерно равная 3.14.

Для начала, найдем полупериметр треугольника по формуле:
\[p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{10 + 24 + 26}{2} = \frac{60}{2} = 30 \, \text{см}\]

Теперь, с помощью формулы Герона, найдем площадь треугольника:
\[S_{\text{треугольника}} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{30(30-10)(30-24)(30-26)} = \sqrt{30 \cdot 20 \cdot 6 \cdot 4} = \sqrt{7200} \, \text{см}^2\]

Так как радиус вписанного круга является длиной перпендикуляра, проведенного из центра круга к стороне треугольника, мы можем использовать формулу для радиуса вписанной окружности:
\[r = \frac{S_{\text{треугольника}}}{p} = \frac{\sqrt{7200}}{30} \, \text{см}\]

Теперь мы можем подставить найденное значение радиуса в формулу для площади круга:
\[S = r^2 \pi = \left(\frac{\sqrt{7200}}{30}\right)^2 \cdot 3.14 \, \text{см}^2\]

После вычислений получим:
\[S \approx 50.27 \, \text{см}^2\]

Ответ: площадь круга, который вписан в треугольник со сторонами 10см, 24см и 26см, приближенно равна 50.27 см².