Коля играет в арифметическую игру с числами от 1 до 10. На каждом ходу он выбирает два числа, вычисляет модуль

Чтобы решить эту задачу, давайте проделаем несколько ходов игры и посмотрим, как числа изменяются.

Пусть в начале у Коли на доске числа записаны так:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

На первом ходу Коля может выбрать любые два числа. Например, он выбирает числа 2 и 8. Вычисляя модуль их разности и увеличивая на 1, мы получаем |2-8|+1 = 7. Тогда на доске останутся следующие числа:
1 3 4 5 6 7 9 10

На втором ходу Коля опять выбирает два числа. Допустим, это будут числа 9 и 1. Их модуль разности плюс 1 равен |9-1|+1 = 9. На доске останутся следующие числа:
3 4 5 6 7 9 10

Коля продолжает игру до тех пор, пока на доске не останется только одно число. Заметим, что каждый ход мы убираем два числа с доски и записываем одно новое число, а количество чисел на доске уменьшается на 1. Таким образом, после \(n\) ходов на доске останется \(10 - 2n\) чисел.

Чтобы определить наименьшее число, которое может остаться на доске, мы должны найти такое значение \(n\), чтобы \(10 - 2n\) стало равным 1 или меньше.

Решим неравенство \(10 - 2n \leq 1\):
\[10 - 2n \leq 1\]
\[2n \geq 10 - 1\]
\[2n \geq 9\]
\[n \geq \frac{9}{2}\]

Так как \(n\) — целое число, наименьшее возможное значение \(n\) равно 5. То есть, после пятого хода на доске останется наименьшее число. Подставляя это значение, мы получаем:
\(10 - 2 \cdot 5 = 10 - 10 = 0\)

Следовательно, наименьшее число, которое может остаться на доске, равно 0.