Когда значение параметра а следует выбирать, чтобы площадь фигуры, определенной системой неравенств, равнялась 8П(пи)?

Чтобы решить задачу о выборе значения параметра \(а\), чтобы площадь фигуры, определенной системой неравенств, равнялась \(8\pi\), давайте разберемся сначала с самими неравенствами.

Представим, что у нас есть система неравенств, определяющая фигуру:

\[y \geq 0\]
\[x^2 + (y - a)^2 \leq a^2\]
\[x^2 + y^2 \leq a^2\]

Первое неравенство \(y \geq 0\) говорит нам, что фигура должна находиться или на оси \(x\), или выше нее.

Второе неравенство \(x^2 + (y - a)^2 \leq a^2\) задает условие, что все точки фигуры должны лежать внутри окружности радиуса \(a\) с центром в точке \((0, a)\). Это окружность, центр которой находится выше оси \(x\) на расстоянии \(a\).

И, наконец, третье неравенство \(x^2 + y^2 \leq a^2\) ограничивает область фигуры сверху еще одной окружностью радиуса \(a\) с центром в начале координат.

Чтобы определить, при каких значениях параметра \(a\) площадь фигуры будет равна \(8\pi\), нам нужно найти площадь области, ограниченной этой системой неравенств.

Для этого мы можем разбить область фигуры на две части: полукруг и сегмент окружности, и найти их площади отдельно.

Площадь полукруга можно найти с помощью формулы площади круга, разделенной пополам:

\[S_{\text{полукруга}} = \frac{1}{2} \pi a^2\]

А площадь сегмента окружности можно найти путем вычитания площади треугольника из площади сектора:

\[S_{\text{сегмента}} = \frac{1}{2} (a^2 \arccos(\frac{a}{a}) - a \sqrt{a^2 - a^2})\]

Теперь, чтобы площадь фигуры была равна \(8\pi\), сумма площадей полукруга и сегмента должна давать эту величину:

\[\frac{1}{2} \pi a^2 + \frac{1}{2} (a^2 \arccos(\frac{a}{a}) - a \sqrt{a^2 - a^2}) = 8\pi\]

Упростим выражение:

\[\frac{1}{2} \pi a^2 + \frac{1}{2} (a^2 \arccos(1) - a \sqrt{0}) = 8\pi\]

\[\frac{1}{2} \pi a^2 + \frac{1}{2} (a^2 \cdot 0 - a \cdot 0) = 8\pi\]

\[\frac{1}{2} \pi a^2 = 8\pi\]

Теперь можем избавиться от \(\pi\) в обоих частях уравнения:

\[a^2 = 16\]

Возведем обе части уравнения в квадрат:

\[a = \pm 4\]

Мы получили два потенциальных значения параметра \(a\), при которых площадь фигуры, определенной системой неравенств, равняется \(8\pi\): \(a = 4\) и \(a = -4\).

Однако, в системе неравенств указано, что \(y \geq 0\), что означает, что фигура должна находиться или на оси \(x\), или выше нее. Поэтому, значение параметра \(a = -4\) не подходит, так как оно бы создало зеркально отображенную фигуру ниже оси \(x\).

Таким образом, правильный ответ: значение параметра \(a\) следует выбирать равным 4, чтобы площадь фигуры, определенной системой неравенств, равнялась \(8\pi\).