Когда Юра разделил задуманное им натуральное число на 5, 8 и 12, в каждом случае получился некороткий остаток. Сумма

Для решения этой задачи сначала нужно заметить, что чтобы получить некороткие остатки при делении на 5, 8 и 12, число должно быть больше этих делителей.

Рассмотрим остатки при делении на каждый из делителей:
- Деление на 5. Остатки от деления на 5 - это числа 0, 1, 2, 3, 4. Нам нужно выбрать номер остатка, который является некоротким. Таким остатком может быть только 2, 3 или 4. Например, если выбрать остаток 2, то число будет иметь вид 5n + 2, где n - целое число.
- Деление на 8. Остатки от деления на 8 - это числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Нам нужно выбрать номер остатка, который является некоротким. Таким остатком может быть только 3, 4, 5, 6 или 7. Например, если выбрать остаток 3, то число будет иметь вид 8m + 3, где m - целое число.
- Деление на 12. Остатки от деления на 12 - это числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. Нам нужно выбрать номер остатка, который является некоротким. Таким остатком может быть только 5, 6, 7, 8, 9, 10 или 11. Например, если выбрать остаток 5, то число будет иметь вид 12k + 5, где k - целое число.

Итак, мы нашли остатки для каждого делителя, теперь нужно найти их сумму. По условию задачи сумма остатков составляет 22. Подставим найденные выражения для остатков и приведём уравнение к виду, чтобы все коэффициенты располагались в виде чисел, кратных 30.

Получаем:
\[ 5n + 2 + 8m + 3 + 12k + 5 = 22 \]

Преобразуем это уравнение:
\[ 5n + 8m + 12k + 10 = 22 \]

Для удобства, вычтем из обеих частей уравнения 10:
\[ 5n + 8m + 12k = 12 \]

Теперь, чтобы найти остаток при делении на 30, нужно найти остаток этой суммы при делении на 30.

Заметим, что каждый из коэффициентов при n, m и k кратен 2, а также кратен 3. То есть каждый из них кратен 6, а значит, все выражение кратно 6.

Поэтому уравнение может быть записано в следующем виде:
\[ 6x = 12 \]

Теперь найдем решение уравнения, деля обе части на 6:
\[ x = 2 \]

Таким образом, задуманное Юрой число при делении на 30 будет иметь остаток 2.

Ответ: 2.