Когда векторы a(3;-4) и b(m;9) коллинеарны? Когда векторы a(3;-4) и b(m;9) перпендикулярны?

Для того чтобы определить, когда заданные векторы a(3;-4) и b(m;9) коллинеарны, нужно понять, что коллинеарность означает, что векторы направлены вдоль одной прямой или параллельны друг другу. Для этого векторы должны быть пропорциональными, то есть каждая координата одного вектора должна быть пропорциональна соответствующей координате другого вектора.

Пусть координаты вектора b равны (m, 9). Для того чтобы узнать, при каких значениях m векторы a и b коллинеарны, нужно установить соотношение между их координатами.

Так как a(3,-4) и b(m,9) коллинеарны, можно установить следующее соотношение:

\[
\frac{3}{m} = \frac{-4}{9}
\]

Мы делим соответствующие координаты a и b, чтобы установить соотношение между ними. После упрощения этого уравнения мы получаем:

\[
27 = -4m
\]

Теперь мы можем найти значение m, разделив обе стороны на -4:

\[
m = \frac{27}{-4}
\]

Вычисляя это значение, мы получаем:

\[
m = -\frac{27}{4}
\]

Таким образом, векторы a(3,-4) и b(-\frac{27}{4},9) коллинеарны при значении m, равном -\frac{27}{4}.

Теперь давайте рассмотрим перпендикулярность этих векторов. Векторы будут перпендикулярными, если их скалярное произведение будет равно нулю. Скалярное произведение векторов a и b можно найти, используя следующую формулу:

\[
a \cdot b = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y
\]

Где a_x и a_y - координаты вектора a, а b_x и b_y - координаты вектора b.

Подставляя значения из задачи, мы получаем:

\[
a \cdot b = 3 \cdot m + (-4) \cdot 9
\]

Для того чтобы векторы a и b были перпендикулярными, скалярное произведение должно быть равно нулю:

\[
3m - 36 = 0
\]

Решаем данное уравнение относительно m:

\[
3m = 36
\]

\[
m = \frac{36}{3}
\]

Вычисляем это значение:

\[
m = 12
\]

Таким образом, векторы a(3,-4) и b(12,9) будут перпендикулярными при значении m, равном 12.