Когда частица движется в плоскости в определенный момент времени, ее скорость равна v={10}^{6} м/с и вектор ускорения

Для начала, рассмотрим векторное уравнение движения:

\(\Delta \mathbf{v} = \mathbf{a} \Delta t\)

В нашем случае, модуль ускорения \(a\) равен \(10^4 \, \text{м/с}^2\), а промежуток времени \(\Delta t\) составляет \(0,02 \, \text{с}\). Поэтому:

\(\Delta \mathbf{v} = (10^4 \, \text{м/с}^2)(0,02 \, \text{с})\)

Выполняя простые математические расчеты, получим:

\(\Delta \mathbf{v} = 200 \, \text{м/с}\)

Таким образом, изменение скорости частицы равно \(200 \, \text{м/с}\).

Теперь давайте рассмотрим векторное произведение \(\mathbf{w} = \mathbf{v} \times \mathbf{a}\), чтобы найти угловую скорость \(w\).

Модуль векторного произведения \(\mathbf{w}\) равен произведению модулей векторов \(\mathbf{v}\) и \(\mathbf{a}\) на синус угла между ними:

\(w = v \cdot a \cdot \sin(\alpha)\)

Здесь \(\alpha\) - угол между векторами \(\mathbf{v}\) и \(\mathbf{a}\), равный \(30^\circ\).

Подставляя значения, получим:

\(w = (10^6 \, \text{м/с})(10^4 \, \text{м/с}^2) \cdot \sin(30^\circ)\)

Выполняя расчеты, получаем:

\(w \approx 5 \cdot 10^{10} \, \text{рад/с}\)

Таким образом, вектор скорости вращается с угловой скоростью примерно \(5 \cdot 10^{10} \, \text{рад/с}\).

Наконец, чтобы найти угол поворота \(\varphi\) вектора скорости, воспользуемся тремя векторами: \(\mathbf{v}\), \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{w}\). Угол \(\varphi\) между \(\mathbf{v}\) и \(\mathbf{w}\) можно найти, используя скалярное произведение:

\(\cos(\varphi) = \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}}{|\mathbf{v}| \cdot |\mathbf{w}|}\)

Подставляя значения, получим:

\(\cos(\varphi) = \frac{(10^6 \, \text{м/с})(5 \cdot 10^{10} \, \text{рад/с})}{|10^6 \, \text{м/с}| \cdot |5 \cdot 10^{10} \, \text{рад/с}|}\)

Выполняя вычисления, получаем:

\(\cos(\varphi) \approx 0,993\)

Теперь найдем угол \(\varphi\). Используя обратную функцию косинуса (арккосинус), получим:

\(\varphi \approx \arccos(0,993) \approx 7,4^\circ\)

Таким образом, вектор скорости частицы повернется на примерно \(7,4^\circ\) за промежуток времени \(\Delta t = 0,02 \, \text{с}\).

И наконец, радиус кривизны \(R\) траектории вблизи данной точки может быть найден используя следующую формулу:

\(R = \frac{v^2}{a}\)

Подставляя значения, получим:

\(R = \frac{(10^6 \, \text{м/с})^2}{10^4 \, \text{м/с}^2}\)

Выполняя расчеты, получаем:

\(R = 10^8 \, \text{м}\)

Итак, радиус кривизны траектории вблизи данной точки равен \(10^8 \, \text{м}\).