Келесі негізгі санда (4+7k)^2-k^2 орнында еселенген сан 8-ке сәйкес кететінін көрсетіңіз

Хорошо, рассмотрим задачу более подробно. Нам нужно найти значение выражения \((4+7k)^2-k^2\), которое равно 8. Для начала, раскроем квадратный корень с помощью квадратных скобок:

\((4+7k)^2 = (4+7k)(4+7k) = 16 + 28k + 28k + 49k^2 = 16 + 56k + 49k^2\)

Теперь мы можем преобразовать исходное выражение:

\((4+7k)^2 - k^2 = 16 + 56k + 49k^2 - k^2 = 16 + 56k + 48k^2\)

Теперь выражение равно 8, поэтому мы можем записать уравнение:

\(16 + 56k + 48k^2 = 8\)

Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения:

\(48k^2 + 56k + 16 - 8 = 0\)

Сократим числитель на 8:

\(48k^2 + 56k + 8 = 0\)

Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение. Для этого можно воспользоваться формулой дискриминанта:

\(D = b^2 - 4ac\),

где \(a = 48\), \(b = 56\), \(c = 8\).

Рассчитаем значение дискриминанта:

\(D = (56)^2 - 4 \cdot 48 \cdot 8 = 3136 - 1536 = 1600\)

Так как дискриминант положительный, у нас есть два различных действительных корня. Применяем формулы для нахождения корней:

\[k_1 = \frac{{-b - \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{-56 - \sqrt{1600}}}{{2 \cdot 48}}\]

\[k_2 = \frac{{-b + \sqrt{D}}}{{2a}} = \frac{{-56 + \sqrt{1600}}}{{2 \cdot 48}}\]

Вычислим числитель и знаменатель в каждой формуле:

\[k_1 = \frac{{-56 - 40}}{{96}} = -\frac{{96}}{{96}} = -1\]

\[k_2 = \frac{{-56 + 40}}{{96}} = -\frac{{16}}{{96}} = -\frac{{1}}{{6}}\]

Итак, мы нашли два значения \(k\), которые удовлетворяют условию и делают исходное выражение равным 8: \(k_1 = -1\) и \(k_2 = -\frac{{1}}{{6}}\).